¿Por qué la velocidad angular es una cantidad vectorial? [duplicar]

En tres dimensiones, cualquier rotación puede expresarse como un desplazamiento angular alrededor de algún eje. La velocidad angular de un cuerpo sólido se define entonces como el vector que apunta a lo largo del eje (instantáneo) de rotación, y cuya magnitud es igual a la tasa (instantánea) de desplazamiento angular alrededor de dicho eje.

En 2D, solo necesitamos$1$parámetro para especificar de forma única una rotación, por lo que podemos tratar el desplazamiento angular y la velocidad angular como cantidades escalares.

En cualquier otro número de dimensiones, nos encontramos con problemas. La razón de esto es que las rotaciones generalmente no tienen lugar alrededor de un eje , sino en un plano . En tres dimensiones, un plano a través del origen está determinado únicamente por un solo eje perpendicular, mientras que en dos dimensiones, solo se puede hablar de un plano. En dimensiones superiores, las cosas se complican más.

Una matriz de rotación en$n$dimensiones es una matriz ortogonal con determinante$+1$- en otras palabras, un elemento de$SO(n)$. La dimensionalidad de$SO(n)$es$\frac{n(n-1)}{2}$, que corresponde al número de parámetros necesarios para especificar completamente una rotación. Cuando$n=3$, esto corresponde a$3$parámetros, lo que significa que podemos asociar una rotación dada con un vector 3D único. Cuando$n=2$, esto corresponde a$1$parámetro, por lo que solo necesitamos un escalar. Sin embargo cuando$n=4$, una rotación necesita$6$Los parámetros deben determinarse por completo, por lo que ni un escalar ni un vector 4D son suficientes para realizar el trabajo.