¿Cómo se puede obtener el vector de velocidad angular a partir del desplazamiento angular que no es un vector?

Hay dos vistas posibles aquí.

• Uno de ellos es que puede, de hecho, considerar el desplazamiento angular o la posición como un vector en el sentido de que puede codificarse con uno: si tiene $$\mathbf{\Theta} := \left<\theta_x, \theta_y, \theta_z\right>$$ entonces puedes declarar que esto codifica un desplazamiento angular con eje$\mathbf{\hat{\Theta}}$y con ángulo de giro $$\theta = \sqrt{\theta_x^2 + \theta_y^2 + \theta_z^2}$$ No hay nada de malo en esto, matemáticamente. Y, de hecho, si el vector de desplazamiento angular crece en magnitud con el tiempo, entonces la derivada es la velocidad angular$\mathbf{\Omega}$. Es solo que, si eliges hacerlo, entonces la suma vectorial$\mathbf{\Theta}_1 + \mathbf{\Theta}_2$de desplazamientos angulares arbitrarios no será lo mismo que la composición de las transformaciones rotacionales que representan, sino alguna otra operación para la cual no estoy seguro en este momento de lo que representa.

• La segunda vista es entender la diferencia entre desplazamiento y posición , y esa posición en general no es un vector para empezar. La posición es un punto , o mejor, una forma numérica (es decir, coordenadas) de denotar puntos, y aunque puede "salirse con la suya" tratándolo como un vector en algunos casos, no puede hacerlo en otros, por ejemplo, en una variedad curva. Los desplazamientos son vectores derivados de posiciones.

  Las posiciones y los vectores son, si se quiere (y en realidad existe una teoría matemática fundamental, pero desafortunadamente no parece muy bien utilizada, llamada "teoría de tipos" para esto) pertenecen a diferentes "tipos de datos", con diferentes denotaciones semánticas y diferentes operaciones que puede y no puede realizar. En particular, mientras que tanto las posiciones como los vectores se pueden representar como tuplas de números reales extraídos de los conjuntos$\mathbb{R}^n$, no puede agregar o escalar posiciones, pero puede vectores.

  De hecho, normalmente no se puede "hacer" nada con las posiciones excepto compararlas de alguna manera, ya sea en términos de ordenación lineal, como en una dimensión, es decir, la línea real, o en términos de medir la distancia entre ellas ( que es de lo que se trata un espacio métrico o una variedad métrica [riemanniana, etc.]). Pero puede "hacer" cosas con los vectores: agregar, escalar, etc.

  Y esta, creo, es la mejor manera de dar sentido a lo que está pasando aquí. En el caso particular de las posiciones en el espacio euclidiano, que es lo que se llama un "espacio afín", también tienes la opción de restar, para obtener desplazamientos vectoriales$\mathbf{d} = Q - P$por puntos$P$y$Q$. Sin embargo, esto no funciona en variedades curvas de forma natural, debido a su geometría no lineal, a menos que esté hablando de un desplazamiento que es tan pequeño que la curvatura puede despreciarse y la variedad puede considerarse plana. Es decir, en variedades curvas, solo puede diferenciar un desplazamiento curvilíneo, que es en el sentido más propio una curva o función, entre los puntos, es decir$\gamma: [0, 1] \rightarrow M$, tal que$\gamma(0) = P$y$\gamma(1) = Q$.

  Y la posición angular, resulta que, honestamente, "vive" en una variedad curva , y no vive en el espacio euclidiano; en cambio, "vive" en una variedad que es una forma del "espacio proyectivo real".$\mathbf{RP}^3$, y se puede construir de manera más explícita utilizando una convención como los ángulos de Euler o los ángulos de Tait-Bryan. Es decir, un punto en la variedad de posición angular viene dado por

  $$(\psi, \theta, \phi)$$ donde estos son los tres ángulos de Euler (personalmente, encuentro los ángulos de Tait-Bryan ['balanceo/cabeceo/guiñada'] más intuitivos).

  Dicho esto, también existe una noción rigurosa correspondiente de desplazamiento angular, pero esto se debe a que la forma en que estas posiciones angulares actúan para rotar el objeto es a través de la acción de la matriz de rotación correspondiente, y esas matrices de rotación pueden estar compuestas. La estructura resultante es, pues, un grupo algebraico, no un espacio vectorial; es el grupo mentira$\mathrm{SO}(3)$. Y también puede escribir sus elementos de desplazamiento en la forma anterior, con ángulos, pero la composición en términos de los ángulos no es una simple suma de los mismos como un espacio vectorial, por lo tanto, no son "vectores", sino algo propio que es específico. al espacio angular. No obstante, todavía se pueden diferenciar a vectores, como ha observado; esto se debe a que cualquier curva$\gamma$sobre una variedad diferenciable derivará a un vector en los espacios tangentes$T_xM$.

La clave está en la declaración entre paréntesis en su primera cita en bloque: concéntrese en la parte "a menos que sean muy pequeños". Esto se puede ver haciendo el simple "experimento" a continuación. Si bien esta respuesta no es matemáticamente rigurosa (para mayor rigor, vea la respuesta de @The_Sympathizer ), creo que llega al corazón de la idea detrás de cómo podemos obtener la velocidad angular como un vector a partir de los desplazamientos angulares. Este experimento es de un ejercicio de "pregunta de discusión" de la 13ª edición de "University Physics with Modern Physics" de Sears & Zemansky:

Aunque la velocidad angular y la aceleración angular pueden tratarse como vectores, el desplazamiento angular$\theta$, a pesar de tener una magnitud y dirección, no puede. Esto es porque$\theta$no sigue la ley conmutativa de la suma de vectores.

Pruébelo usted mismo de la siguiente manera: coloque su libro de texto de física sobre el escritorio frente a usted con la cubierta hacia arriba para que pueda leer lo que está escrito en él. girarlo a través$90^\circ$sobre un eje horizontal de modo que el borde más lejano se acerque a usted. Llame a este desplazamiento angular$\theta_1$. Luego gira por$90^\circ$sobre un eje vertical para que el borde izquierdo venga hacia usted. Llame a este desplazamiento angular$\theta_2$. El lomo del libro ahora debe mirar hacia ti, con la escritura orientada para que puedas leerlo.

Ahora comience de nuevo pero realice las dos rotaciones en el orden inverso. ¿Obtienes un resultado diferente? Es decir, hace$\theta_1+\theta_2$igual$\theta_2+\theta_1$?

Ahora repite este experimento pero esta vez con un ángulo de$1^\circ$en vez de$90^\circ$. ¿Crees que el desplazamiento infinitesimal$\text d\boldsymbol\theta$obedece la ley conmutativa de la suma y por lo tanto califica como un vector? Si es así, ¿cómo es la dirección de$\text d\boldsymbol\theta$relacionado con la dirección de$\boldsymbol \omega$?

La idea es que el vector de velocidad angular$\boldsymbol\omega=\text d\boldsymbol\theta/\text dt$solo trata con desplazamientos angulares infinitesimales , por lo que el ejemplo en las imágenes que ha publicado no son válidos para comparar el desplazamiento angular con la velocidad angular. El desplazamiento angular infinitesimal se puede tratar como un vector muy bien, incluso si los desplazamientos "más grandes" no pueden serlo.

Los vectores son expresiones matemáticas que deben transformarse de la manera correcta. La transformación de vectores significa la forma en que los vectores comunes (como el desplazamiento) se transforman bajo el sistema de coordenadas de traslación o rotación.

¿Puede un vector surgir de una cantidad no vectorial?

Sí y siempre lo hacen. El gradiente de cualquier campo escalar es un campo vectorial. También existe la posibilidad de convertir un vector en un escalar, la divergencia de cualquier vector es un escalar.

Esta respuesta probablemente sea demasiado avanzada para el OP, pero podría ser interesante para aquellos que han estudiado matemáticas o física más avanzadas. (Lo digo con todo respeto).

La "mejor" forma de representar matemáticamente una rotación (adecuada) en el espacio 3D no es mediante un vector, sino mediante un elemento del grupo Lie.$\mathrm{SO}(3)$.$\mathrm{SO}(3)$es un grupo de Lie tridimensional como el espacio vectorial$\mathbb{R}^3$(con adición de vectores como operación de grupo), aunque tiene una topología global diferente. Es una representación "mejor" que$\mathbb{R}^3$porque las rotaciones se componen correctamente, lo que no es el caso de la representación vectorial (como se ilustra en el OP). A diferencia de$\mathbb{R}^3$,$\mathrm{SO}(3)$es no abeliano: el orden de las operaciones (en este caso, las rotaciones) marca la diferencia.

Las rotaciones infinitesimales son una bestia cualitativamente diferente y están representadas por los elementos del álgebra de Lie. $\mathfrak{so}(3)$(tenga en cuenta las diferentes fuentes y mayúsculas).$\mathfrak{so}(3)$es de hecho un espacio vectorial y es isomorfo a$\mathbb{R}^3$. (Sin embargo, tiene alguna estructura algebraica adicional en forma de paréntesis de Lie, que corresponde geométricamente al producto vectorial y contiene la información que refleja la falla de las rotaciones finitas para conmutar). Entonces, las rotaciones infinitesimales son realmente vectores y se pueden sumar de manera equivalente en cualquier orden.

La posición angular se puede considerar un vector.$\vec \theta$. Simplemente no es un llamado vector geométrico (o vector euclidiano ).

Parece que el autor de su libro de texto se refiere implícitamente a los vectores geométricos. Muchas operaciones matemáticas se definen solo para vectores geométricos, ya que aquí vemos altos grados de simetría y, por lo tanto, vemos relaciones simples como la ley conmutativa (que el orden de las partes sumadas no importa).

Si es matemáticamente consistente que los vectores geométricos y no geométricos sean derivados entre sí, podría ser una mejor pregunta para el sitio de Math SE . De lo contrario, posiblemente pueda encontrar algunas explicaciones buscando cálculo geométrico .

Pero incluso esos derivados todavía no se comportan completamente como vectores geométricos; por ejemplo, el principio de superposición no se aplica a la velocidad angular (no en 3 dimensiones, al menos). Si hace que un objeto gire sobre los tres ejes, no los verá "fusionarse" en una velocidad angular resultante, como vería con velocidades lineales (en realidad lo hará, pero ese eje no es fijo). En cambio, los tres movimientos se superponen en un giro abultado y "caído".

El desplazamiento angular tiene que especificar un plano. Entonces es un vector siempre y cuando solo lo sume con los vectores correspondientes (del mismo plano).