¿Cómo es exactamente que "la física clásica es continua" postula que "el espacio-tiempo es un conjunto con una cierta topología"?

Lo que sigue es un bosquejo muy aproximado que espero pueda ayudar. Vea el final para algunos consejos.

El truco aquí es que, como dices, para definir mapas continuos necesitas dos conjuntos con topologías. Y luego elegimos uno de estos conjuntos para que sea un conjunto que entendemos muy bien con una topología que entendemos muy bien: el conjunto$\mathbb{R}^n$con la topología habitual.

La topología habitual en$\mathbb{R}^n$

La forma más sencilla de definir la topología habitual en$\mathbb{R}^n$es hacerlo al revés:

1. para cualquier$x = (x_1,\ldots,x_n), y = (y_1,\ldots,y_n)\in\mathbb{R}^n$definir$d(x,y) = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + \cdots + (x_n - y_n)^2}$-- esta es la función de distancia euclidiana normal;
2. para cualquier punto$p\in\mathbb{R}^n$, define una vecindad abierta de radio$r > 0$de$p$como$N_r(p) = \left\{q\in\mathbb{R}^n: d(p,q) < r\right\}$
3. ahora defina los conjuntos abiertos de la topología como$\emptyset$, todos$N_r(p)$para todos$p$, sus uniones e intersecciones finitas y$\mathbb{R}^n$sí mismo.

Es bastante fácil demostrar que esto:

• es una topología;
• es el que esperarías para$\mathbb{R}$($d$-los barrios son solo intervalos abiertos);
• no es muy sensible a los detalles de$d$-- la topología no depende de la función de distancia particular y muchas funciones de distancia darán la misma topología.

También es posible mostrar que para esta topología la definición topológica de continuidad es exactamente la misma que la tradicional$\epsilon$-$\delta$uno. Entonces, las asignaciones continuas que usan esta topología entre, digamos$\mathbb{R}$y$\mathbb{R}$son justo lo que esperaríamos que fueran, y todas nuestras intuiciones de lo que significa que las funciones sobre los reales sean un trabajo continuo.

Variedades topológicas

Entonces, el truco es que definimos una variedad topológica como un conjunto$M$con una topología, y el requisito de que cada punto de$M$tiene un vecindario abierto que tiene un mapa continuo 1-1 en un vecindario abierto de$\mathbb{R}^n$.

Siempre que usemos la topología habitual en$\mathbb{R}^n$esto realmente significa que$M$es 'localmente como'$\mathbb{R}^n$con la topología habitual. Y esto a su vez significa que nuestras intuiciones sobre funciones continuas en los reales también funcionan en$M$, al menos localmente.

Tenga en cuenta que no es necesario que haya un mapa único, global, 1-1, continuo entre$M$y$\mathbb{R}^n$, y a menudo no lo hay (por ejemplo, la esfera de 2 no tiene tal mapa único). Pero gracias a la naturaleza de los conjuntos abiertos en la topología habitual, los mapas terminarán superpuestos (o es posible definirlos para que siempre haya superposiciones cambiándolos de manera obvia).

Un ejemplo: el círculo unitario

Este es un ejemplo simple en el que puede visualizar fácilmente lo que está sucediendo. El círculo unitario, al que llamaré$S$, es$S = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2: \sqrt{x^2 + y^2} = 1\}$. Esta es una variedad unidimensional, por lo que quiere ser mapeada en (conjuntos abiertos de)$\mathbb{R}$.

El primer truco obvio es decir que$(x, y) = (\cos\theta, \sin\theta), \theta\in\mathbb{R}$. Esto facilita hablar sobre la topología que queremos en$S$: es solo la topología habitual en$\mathbb{R}$: para algunos$\theta_0$los barrios de la misma son$(\theta_0 - \epsilon, \theta_0 + \epsilon), \epsilon > 0, \epsilon < 2\pi$. Tenga en cuenta que ahora estoy usando$(a,b)$significar$\{x: x > a, x < b\}$y de manera similar para$[a,b]$,$(a, b]$etc., en lugar de significar una tupla, y tenga en cuenta también el$\epsilon < 2\pi$condición que nos evita dar vueltas$S$.

Entonces, ahora necesitamos algunas asignaciones continuas 1-1 entre$S$& subconjuntos abiertos de$\mathbb{R}$. Es tentador elegir solo uno,$m(\theta) = \theta$. Esto es continuo pero no es 1-1, porque$\theta + 2n\pi, n\in\mathbb{N}$es el mismo punto que$\theta$. Bueno, podríamos limitar el rango de$\theta$ser$(0, 2\pi)$pero este intervalo no incluye$0$y por lo tanto no mapea la totalidad de$S$. Podemos cartografiar todo$S$por tener$\theta\in[0, 2\pi)$, pero esto no es un conjunto abierto de$\mathbb{R}$en la topología habitual.

Entonces, resulta que necesitamos al menos dos asignaciones. Hay mucha libertad para elegirlos, pero por ejemplo

• $m_1(\theta) = \theta, \theta\in(0, 3\pi/2)$
• $m_2(\theta) = \theta, \theta\in(\pi, 5\pi/2)$

Tenga en cuenta que estos se superponen: en$(pi, 3\pi/2)$,$m_1(\theta) = m_2(\theta)$, y en$(0, \pi/2)$,$m_1(\theta) = m_2(\theta - 2\pi)$. Y entre ellos mapean todos los puntos de$S$de forma continua, 1-1, para abrir subconjuntos de$\mathbb{R}$.

Debería ser obvio que necesitamos más de un mapeo: aunque$S$localmente parece$\mathbb{R}$, no se ve globalmente como$\mathbb{R}$en absoluto. Y ese es parte del objetivo de todo el asunto de la variedad topológica: queremos poder hablar sobre objetos que localmente son como$\mathbb{R}^n$pero que globalmente puede no serlo en absoluto.

Una nota sobre las superposiciones. Anteriormente dije que 'los conjuntos abiertos en la topología habitual siempre terminan con superposiciones'. Lo que esto significa es fácil de ver al considerar la intersección de dos intervalos abiertos de$\mathbb{R}$:$(a,b) \cap (c,d)$. Este conjunto está vacío, si$c \ge b$, o contiene más de un punto , si$c < b$. Nunca contiene un solo punto. Esta es una propiedad de la topología usual en$\mathbb{R}$: no es cierto para todas las topologías, pero es cierto para la topología habitual. Como ejemplo, no es cierto para la topología discreta donde todos los conjuntos están abiertos, porque entonces$\{x\} \cap \{x\}$es un solo punto y$\{x\}$está abierto en esta topología: por eso la topología discreta es inútil. No sé el nombre de esta condición: podría ser la condición de Hausdorff o una implicación de ella, pero no estoy seguro.

Siempre que nos apeguemos a una topología en la que esto sea cierto, podemos estar seguros de que si tenemos mapas para todos los múltiples, esos mapas tendrán superposiciones, y esto significa que podemos trabajar entre ellos usando las superposiciones. Y eso significa que no hay 'lugares malos' en la variedad donde la continuidad se rompa: si va a haber lugares tan malos, entonces debemos eliminarlos de la variedad de alguna manera (esos lugares malos son singularidades, por supuesto).

Las preguntas

1. Lo que se entiende por 'no puede haber saltos' es que, por ejemplo, las trayectorias de las partículas en la variedad son continuas, lo que se traduce directamente en trayectorias en las imágenes de los mapas entre la variedad y$\mathbb{R}^n$ser continuo en la forma que esperamos del análisis básico. De hecho, no hay saltos.
2. De hecho, no necesita dos conjuntos, o más bien los dos conjuntos pueden ser copias uno del otro. Sin embargo, el truco esbozado anteriormente de definir una variedad requiriendo que haya mapeos de buen comportamiento entre ella y$\mathbb{R}^n$significa que, de hecho, siempre tienes dos conjuntos, y puedes arrancar cosas como la continuidad a partir de nociones elementales de continuidad en los reales.
3. La variedad es continua porque permite estos mapeos continuos. Si no fuera continuo, estas asignaciones no existirían en absoluto.
4. Creo que esto es al revés: definir una topología en un conjunto define lo que significa 'continuo' : si define una topología diferente (hay varias más o menos patológicas, como la topología discreta (todos los conjuntos están abiertos) y el trivial topología (solo el conjunto completo y el conjunto vacío están abiertos)) obtendrá una noción diferente de continuidad.

Punteros

• Siempre me han gustado los métodos geométricos de la física matemática de Schutz, que ofrece una versión mucho mejor del boceto que he dado aquí. Fue el primer libro que leí que me hizo comprender qué es realmente la topología y por qué es útil.
• Análisis, variedades y física de Choquet-Bruhat, deWitt-Morette con Dillard-Bleick es un enfoque mucho más serio que comienza con una descripción bastante feroz de la topología y el análisis. Solía ​​usar esto como referencia.

Ciertamente hay referencias más modernas y ciertamente otras referencias igualmente antiguas y quizás mejores: estos son solo los libros que usé antes de 1990.