¿Cómo entiendo la fórmula de la energía cinética? [duplicar]

Cuando la gente suele preguntar '¿cómo puedo entender esta ecuación o proceso?' lo que realmente quieren decir es si pueden desglosarlo en términos de procesos más familiares que dan por sentado como básicos. No puedes seguir preguntando qué, por qué o cómo, eventualmente tienes que llegar a una etapa en la que no es posible simplificar más y tienes que tomar las cosas como son. Por lo general, una buena simplificación es aquella que puede explicar más o abarcar la mayor cantidad de información sobre el comportamiento del mundo físico. La ecuación de Newton con su teoría de la gravedad explica una gran parte de nuestras experiencias diarias.

Digamos que alguien pregunta '¿qué es la masa?'. En la escuela aprendes 'es la cantidad de sustancia' y estás contento con eso. Pero, ¿qué es la sustancia? Digamos que decimos que la masa es la medida de la inercia. Entonces, ¿qué es la inercia? La inercia es la propiedad por la cual diferentes objetos se aceleran a diferentes velocidades bajo la misma fuerza. Ahora tengo que definir la fuerza o al menos una noción de 'misma' fuerza. Digamos que un resorte se mantiene alargado desde su posición de equilibrio en 1 cm. Lo que he hecho entonces es solo crear una medida de mi idea intuitiva de lo que llamo fuerza. Puede ser una definición más cruda es un empujón de mi amigo Jack. Si sigue este camino, entrará en círculos de 'definición' o definirá indefinidamente nuevos términos.

Por supuesto, a medida que aprende más y más física, estas definiciones cambian. En la mecánica cuántica no hay fuerza. Por lo tanto, no tiene sentido hablar de movimiento o aceleración para definir la masa, ya que no son propiedades físicas fundamentales en nuestra teoría. Entonces, lo que necesita comprender es que, en última instancia, las cantidades físicas son objetos que nos ayudan a comprender los patrones en la naturaleza. Por lo general, los conviertes en números que encajan en alguna teoría matemática que representa algún comportamiento de nuestro universo observado.

Habiendo dicho eso, la mejor manera de entender cómo viene esa ecuación específica de energía cinética es simplemente en términos de conservación. ¿Cómo sabemos que algo se conserva? Lo encontramos a partir de experimentos. Se encontró a partir de experimentos que, de hecho, esta cantidad, históricamente$\sum_i m_iv_i^2$, permaneció conservado. Digamos que hacemos algunos experimentos de colisión. Vemos a partir de estos experimentos que en algunos procesos de colisión$\sum_i mv^2$(cómo llegó la mitad es otra historia) se conserva. También podemos ver a partir de estos experimentos que la cantidad$mv$permanece constante (si tenemos alguna medida de masa a priori) en todos los casos. A medida que aumentaba nuestro conocimiento experimental del mundo, descubrimos que esta cantidad es más fundamental de lo que pensábamos anteriormente y es parte de un principio más fundamental de conservación de la energía.

Ahora bien, si uno define el trabajo realizado sobre un objeto por la aplicación de una fuerza como

$$\begin{eqnarray} W = \int_{x_1}^{x_2}F(x)\,\mathrm d x.\\ =\int_{x_1}^{x_2}m \frac{dv}{dt} dx\\ =\int_{x_1}^{x_2}m \frac{dx}{dt} dv\\ =\int_{v_1}^{v_2}m v dv\\ =\frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2 \end{eqnarray}$$ Lo que significa que cualquier trabajo realizado en el cuerpo se manifiesta como un cambio en$\frac{1}{2}mv^2$del objeto Lo que nos da una idea de cuál es la cantidad. Pero, sin embargo, la ecuación en sí misma, que yo sepa, no tiene más significado que este o puede "comprenderse" en mejores términos.

No creo haber hecho justicia a su pregunta y siento que mi respuesta es más como una diatriba. Pero si todavía está perplejo, siempre es bueno buscar un poco de historia para ver cómo los padres fundadores de la física eran igualmente inconscientes y cómo le dieron sentido. Nuestro problema es simplemente que damos por sentadas algunas cosas que no son del todo obvias.

¿Puedes aclarar un poco qué es lo que estás tratando de entender? El$v^2$término te dice que la energía cinética de un objeto con masa$m$aumenta con el cuadrado de la velocidad.

$$KE\propto v^2$$ Entonces, si los objetos duplican su velocidad$v_{f}\rightarrow 2\cdot v_{i}$esto significa que su energía cinética aumenta en un factor de$4$.

$$KE_{i}\propto v_{i}^2$$ $$KE_{f}\propto v_{f}^2$$ Pero$v_{f}=2\cdot v_{i}$Lo que significa que: $$KE_{f}\propto \left(2\cdot v_{i}\right)^2=4\cdot v_{i}^2$$ Y esto significa que la energía cinética aumentó$4$veces: $$\frac{KE_{f}}{KE_{i}}=\frac{4\cdot v_{i}^{2}}{v_{i}^{2}}=4$$

$m$es solo la masa del objeto. La energía cinética de un objeto proporcional a su masa. Consideremos dos objetos con diferentes masas. La masa del objeto$1$es$m_{1}$y la masa del objeto$2$es$m_{2}$, dónde$m_{1}\neq m_{2}$. Digamos$m_{1}>m_{2}$. Podemos escribir la expresión de energía cinética para ambos objetos (ignorando la$\tfrac{1}{2}$término):

$$KE_{1}\propto m_{1}v_{1}^{2}$$ $$KE_{2}\propto m_{2}v_{2}^{2}$$

Si ambos objetos tienen la misma velocidad.$v=v_{1}=v_{2}$, podemos escribir:

$$KE_{1}\propto m_{1}v^{2}$$ $$KE_{2}\propto m_{2}v^{2}$$

Divisor$\tfrac{KE_{1}}{KE_{2}}$obtenemos:

$$\frac{KE_{1}}{KE_{2}}=\frac{m_{1}}{m_{2}}$$

Así que si$m_{1}>m_{2}$, Eso significa que$KE_{1}>KE_{2}$.

El$\tfrac{1}{2}$término es solo una constante, y es irrelevante desde el punto de vista de la física. Es solo un número con el que tienes que multiplicar la expresión y resulta del cálculo matemático. Además, esta expresión de energía cinética es válida solo cuando$\tfrac{v}{c}\ll 1$. La expresión general para la energía cinética es:

$$KE=E-E_{0}$$

lo que significa la diferencia entre la energía total de la partícula y su energía en reposo.

Ampliando aún más:

$$KE=mc^2\left(\gamma -1\right)$$

$$KE=mc^2\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}} -1\right)$$

Podemos tomar este término$\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$y escribe su desarrollo de Taylor:

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{\left(n\right)}(a)}{n!}(x-a)^n=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots$$

En nuestro caso$f(x)$es:

$$\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=\left(\frac{1}{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)^{1/2}=\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-1/2}$$ Estamos interesados ​​en$\tfrac{v}{c}\ll 1$. $$\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-1/2}=1+\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}+\frac{3}{8}\left(\frac{v^2}{c^2}\right)^2+\cdots$$

Volviendo atrás e insertando esta expansión en la fórmula general de energía cinética:

$$KE=mc^2\left[\underbrace{\left(1+\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}+\frac{3}{8}\left(\frac{v^2}{c^2}\right)^2+\cdots\right)}_{\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}} -1\right]$$

$$KE=mc^2\left[\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}+\frac{3}{8}\left(\frac{v^2}{c^2}\right)^2+\cdots\right]$$

Entonces podemos considerar que:

$$KE\approx \frac{1}{2}mv^2 \quad, \text{ for $\tfrac{v}{c}\ll 1$}$$

Bien,$\frac{mv^2}{2}$es el resultado que obtenemos del teorema de la energía del trabajo.

$$dW_{net}=\vec{F_{net}}.d\vec{s}=m\vec{a_{net}}.d\vec{s}$$ Después de resolver esta ecuación aún más, obtenemos: -

$$W_{total}=\Delta K.E=\frac{m(v_{f}^2-v_{i}^2)}{2}$$

¡Espero que esto ayude!