Paradoja en la definición de trabajo [duplicado]

Entonces, ha descubierto algo que en realidad es muy importante, y si pudiera salirme con la mía, estaría presente en todos los libros de texto de mecánica inicial.

Es que la energía es sólo una pseudo- cosa.

Si tiene cosas convencionales en una caja, entonces tiene dos propiedades:

1. si la cantidad de cosas en la caja cambia, tiene que ser que las cosas han fluido a través de los lados o se han teletransportado desde algún otro "exterior" (por lo tanto, se "conserva"), y
2. si pones esa caja en movimiento, cada observador está de acuerdo con la cantidad de cosas que hay en la caja (es "independiente del marco").

La energía obedece a la primera, se conserva, por lo que puedes pensar en ella como una especie de "cosa". Pero no es independiente del marco, por lo que no es un material en la forma en que, digamos, las moléculas de azúcar son un material. Si hace la transición a un marco de referencia en el que se lanza en paracaídas sobre Stonehenge, parece moverse hacia arriba a una velocidad constante y, por lo tanto, tiene una energía cinética. Esa energía cinética no cambia, porque existe en un estado de equilibrio de fuerzas, por lo que no acelera en absoluto, pero tampoco es cero.

Cuando las fuerzas no están equilibradas, todo el mundo está de acuerdo en los cambios de velocidad. Pero la energía cinética es cuadrática en velocidad, por lo que uno en el mismo cambio en la velocidad se asigna a un cambio de energía cinética mucho mayor, en esos marcos de referencia donde la cosa ya se está moviendo en esa dirección muy rápido,

$$\frac12 ~m~ (u + v)^2 = \frac12 ~m~ u^2 + m~u~v + \frac12~m~v^2.$$ Así que un tren comienza a moverse más rápido por$v=1\text{ km}/\text{hr}.$En el marco de co-movimiento donde$u=0$el cambio en la energía cinética es una cantidad$E=\frac12mv^2$. Pero en el marco en el que ese tren avanza a$u=100\text{ km}/\text{hr}$, esa ley cuadrática significa que ha ganado$201 E$de energía cinética. Las energías de línea de base no son las mismas (comenzó con$10000~E$de energía), y además los cambios no son los mismos.

La solución es multiplicar cada fuerza por la velocidad sobre la que actúa, para obtener la tasa a la que cambia la energía cinética. Esto se llama la potencia que ejerce esa fuerza en cualquier instante, y es un producto punto, por lo que también hay un coseno del ángulo entre la fuerza y ​​la velocidad,$P = \vec F \cdot \vec v = F~v~\cos\theta.$

Si integra la potencia neta ejercida por todas las fuerzas, con el tiempo, obtiene el cambio total en la energía cinética. Pero si la fuerza es constante, entonces solo estás multiplicando una velocidad por un tiempo, y eso te da el desplazamiento del objeto.

Entonces, el teorema del trabajo y la energía todavía se aplica en el nuevo marco de referencia, solo que los cambios en la energía cinética son todos diferentes, por lo que los trabajos también deben ser diferentes para que las matemáticas igualen el trabajo con el cambio en la energía cinética.

Has notado algo muy importante sobre el trabajo, algo que casi nunca se menciona explícitamente en las clases de física introductoria. Específicamente: el trabajo es una variante de marco. Lo que significa que la cantidad de trabajo realizado depende del marco de referencia.

Entonces, la reacción inmediata a esta observación suele ser algo así como "pero si el trabajo depende del marco de referencia, entonces la energía solo se puede conservar en ciertos marcos de referencia". La clave para comprender es recordar que el impulso también se conserva y analizar las consecuencias de la conservación del impulso.

Suponga que tiene a una persona disparando un rifle desde la caja de una camioneta. Para simplificar diremos que el camión pesa 1000 kg y tiene ruedas sin fricción, la bala pesa 5 g, y después de disparar la bala tiene una velocidad de 200 m/s en el marco donde el camión y la bala estaban inicialmente en reposo. En ese marco, la bala ha ganado 100 J de energía y tiene un impulso de 1 kg m/s. Debido a la conservación de la cantidad de movimiento, el camión tiene una cantidad de movimiento de -1 kg m/s y, por lo tanto, un cambio de velocidad despreciable de -1 mm/s.

Ahora, considere la misma situación en el marco donde el camión se mueve inicialmente a 20 m/s. La bala comienza con 1 J y termina con 121 J. Así que casi 20 J parecen haber aparecido de la nada ya que la energía química todavía es de 100 J. Sin embargo, al observar el camión, vemos que el camión comenzó con 200 kJ, pero aunque el cambio de velocidad es de sólo -1 mm/s, esa pequeña diferencia de velocidad reduce la KE del camión en 20 J. Entonces, la fuente de la KE adicional de la bala es en realidad la KE del camión, transferida a la bala por la conservación de la cantidad de movimiento.

Note un par de puntos importantes. Para resolver esto, debe considerar tanto la energía como el impulso. Debido a que la energía es proporcional a la velocidad al cuadrado, un pequeño cambio en la velocidad a partir de cero da un cambio insignificante en la energía, pero el mismo cambio en la velocidad a partir de una velocidad más alta es un cambio mayor en la energía. Finalmente, tenga en cuenta que la KE es diferente en diferentes marcos, pero la energía aún se conserva en cada marco.

He aquí un ejemplo cuantitativo. Necesitamos dos marcos de referencia inerciales,$K$y$K'$, orientado de la manera estándar (la$x$-$x'$ejes paralelos, etc.).$K'$se mueve con una velocidad$u = 1,000$m/s a lo largo de$x$-eje de$K$.

Un objeto de masa$m = 1$kg está inicialmente en reposo en el$K'$marco. un observador en$K'$aplica una fuerza$F = 1$N en el$x'$dirección al objeto por un tiempo$\Delta t =$1 s. Queremos calcular el trabajo realizado por$F$medida en el$K'$marco y en el$K$marco.

En$K'$:

La aceleración:

$$a = \frac{F}{m} = 1 \textrm{ m/s}^2.$$

El cambio de velocidad:

$$\Delta v' = a\Delta t = 1 \textrm{ m/s}.$$

El desplazamiento:

$$\Delta x' = \frac{1}{2}a\Delta t^2 = \frac{1}{2} \textrm{ m}.$$

El trabajo realizado por F:

$$W' = F\Delta x' = \frac{1}{2} \textrm{ J}.$$

el cambio en$KE'$:

$$\Delta KE' = \frac{1}{2}mv_{f}'^{2} = \frac{1}{2} \textrm{ J}.$$

Tinta,$a$,$F$, y$\Delta t$son todos iguales que en$K'$, según Galileo.

El cambio de velocidad:

$$\Delta v = \Delta v' + u = 1,001 \textrm{ m/s}.$$

El desplazamiento:

$$\Delta x = \Delta x' + u\Delta t = 1,000.5 \text{ m}.$$

El trabajo realizado por$F$:

$$W = F\Delta x = F\Delta x' + Fu\Delta t = \frac{1}{2} \textrm{ J} + 1,000 \textrm{ J} = 1,000.5 \textrm{ J}.$$

El cambio en KE:

$$\Delta KE = \frac{1}{2}mv_f^2 - \frac{1}{2}mu^2 = \frac{1}{2}m\left(v_f^2 - u^2\right) = 1,000.5 \textrm{ J}.$$

Entonces parece que tenemos 1.000 J de energía 'creados' simplemente cambiando los marcos de referencia, pero así es exactamente como debemos interpretarlo.$KE$es una cantidad dependiente del marco. Pero el teorema trabajo-energía es invariante de Galileo.

Para su ejemplo de Stonehenge, deje$m$sea ​​la masa de la Tierra, 5.972$\times$10$^{24}$kg. En$K'$, el resto marco de la Tierra,$a$,$\Delta v'$,$\Delta x'$,$W$, y$\Delta KE$todos se vuelven aproximadamente cero. Esto parecería conducir a una contradicción, ya que en el marco$K$, el marco de descanso del Sol,$\Delta KE$es cero, pero parece$W \neq 0$, ya que Stonehenge se mueve una distancia apreciable en 1 segundo. Sin embargo,$W$en el teorema trabajo-energía es el trabajo neto realizado, y debemos incluir todas las fuerzas que actúan sobre Stonehenge, que cuando se suman producirán una fuerza neta cero paralela a su dirección de movimiento.

Además, ¿cómo "sabe" el objeto que se mueve a través del espacio a una velocidad constante que se está moviendo?

No, no lo hace.

Y el objeto no conoce su propia energía cinética.

Si aplica una fuerza de 1 Newton durante el tiempo de 1 segundo al objeto, la energía del objeto cambiaría. Pero cuánto cambia depende del marco de referencia. Puede aumentar, aumentar mucho o disminuir. O incluso permanecer constante (si la velocidad del objeto cambió de dirección).

La energía no es algo así como una cantidad de dinero en una cuenta bancaria :) La energía del objeto depende del marco de referencia. Solo necesita apegarse a algún marco de referencia y calcular la energía usándolo. Entonces la energía permanecería constante.

Ahora que lo pienso, la Tierra se mueve alrededor del Sol a 30 km/s, así que si me paro en una de las piedras de Stonehenge al amanecer, ¿el peso de mi cuerpo arroja 17 megavatios de energía en ella?

No he verificado los cálculos, pero parece que sí. Produces trabajo sobre la piedra. La Tierra produce trabajo en ti. Tu energía, la energía de la piedra y la energía de la Tierra permanecen constantes. No es un marco de referencia muy conveniente, pero es posible usarlo.

Parece que la definición de trabajo contiene algún tipo de advertencia de que la distancia que se mueve el objeto tiene que estar relacionada con la fuerza de alguna manera, pero eso no me queda claro en absoluto.

Para mí también fue contrario a la intuición. Pero ya no más :)

Aplicar algo de fuerza a un automóvil detenido es mucho más fácil que aplicar la misma fuerza a un automóvil que se mueve rápidamente.

Lo que no tiene ningún sentido para mí es que el cambio en la energía cinética es directamente proporcional a la distancia que se mueve el objeto.

Creo que esto no es correcto. El cambio de energía cinética es proporcional a la distancia recorrida solo cuando el objeto se acelera continuamente (es decir, su velocidad cambia continuamente). El cambio de energía cinética depende del cambio de velocidad.

¿Qué pasa si el objeto casualmente se está moviendo de todos modos?

En este caso, al usar ecuaciones de movimiento lineal, si la fuerza que aplicó es la única fuerza que actúa sobre el cuerpo, el producto de la fuerza aplicada y el desplazamiento del objeto bajo la acción de la fuerza da el cambio en la energía cinética del cuerpo. objeto.