Entender la relación entre trabajo y energía.

A veces, cuando estás atascado en las cosas, es útil mirar las matemáticas de lo que se afirma. Por ejemplo, en ninguna parte de las tres leyes de Newton aparece "la energía se conserva".

Sin embargo, la conservación de la energía aparece cuando se tiene un sistema que se comporta como$m \ddot{x}=-\nabla U$, para alguna función$U$, dónde$x$es un vector de posición en función del tiempo. En este caso es un teorema matemático que$\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2} m \|\dot{x}\|^2+U\right)=0$.

Aunque es fácil dejarse llevar y empezar a hablar sobre la naturaleza y los sistemas y por qué algunas fuerzas se pueden representar como$\nabla U$, en cada libro regular de mecánica* que he leído, esto es a lo que se reduce todo.

*mecánica normal en lugar de mecánica superior. En mecánica superior se afirma que la acción$A[u]=\int L(u(t),u'(t),t)dt$tiende a minimizarse. De eso es un teorema matemático que si$L(u,\dot{u},t)=L(u,\dot{u},t+t_0)$para todos$t_0$, entonces la energía se conserva. Sin embargo, entonces su pregunta se convierte en "¿por qué la naturaleza tiende a minimizar la acción" o, de manera equivalente, "¿por qué debemos usar una función como$L$?" ¡A lo que hay que apelar a la experimentación! ¡No hay pruebas de la conservación de la energía así como no hay pruebas de las leyes de Newton!

Derivación que aplica trabajo como se definió anteriormente da como resultado, para una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta, un cambio en su energía cinética (espero que no sea demasiado complejo de entender):

En el caso de que la fuerza resultante$F$es constante tanto en magnitud como en dirección, y paralela a la velocidad de la partícula, la partícula se mueve con aceleración constante a a lo largo de una línea recta. La relación entre la fuerza neta y la aceleración viene dada por la ecuación$F = ma$(Segunda ley de Newton), y el desplazamiento de partículas$s$se puede expresar mediante la ecuación$s = \frac{v_2^2 - v_1^2}{2a}$que se sigue de$v_2^2 = v_1^2 + 2as$.

El trabajo de la fuerza neta se calcula como el producto de su magnitud y el desplazamiento de la partícula. Sustituyendo las ecuaciones anteriores se obtiene:$W = Fs = mas = ma \left(\frac{v_2^2 - v_1^2}{2a}\right) = \frac{mv_2^2}{2} - \frac{mv_1^2}{2} = \Delta {E_k}$

En el caso general de movimiento rectilíneo, cuando la fuerza neta$F$no es constante en magnitud, pero es constante en dirección, y paralelo a la velocidad de la partícula, el trabajo debe integrarse a lo largo de la trayectoria de la partícula:

$W = \int_{t_1}^{t_2} \mathbf{F}\cdot \mathbf{v}dt = \int_{t_1}^{t_2} F \,v dt = \int_{t_1}^{t_2} ma \,v dt = m \int_{t_1}^{t_2} v \,{dv \over dt}\,dt = m \int_{v_1}^{v_2} v\,dv = \tfrac12 m (v_2^2 - v_1^2)$.