¿Cómo entender la idea del grupo de renormalización funcional?

El FRG puede considerarse como una versión moderna de Wilson RG, aunque los detalles técnicos son, por supuesto, muy diferentes. Pero en general, si uno pudiera hacer todos los cálculos exactamente, estas diferentes versiones serían todas iguales.

Ahora, sobre estas diferencias técnicas. En Wilson RG (y en la versión funcional de Polchinski) se trabaja con una acción de baja energía para modos de baja energía, es decir, se estudia el flujo de S k [ φ q < k ] definido como

dónde S [ ϕ ] es la acción microscópica a escala de corte Λ (antes de que se hayan integrado las fluctuaciones). Wilson (y Polchinski) nos dan una ecuación de flujo ∂ k S k = ... que tiene que ser resuelto de una forma u otra.

En el FRG (versión de Wetterich al menos), uno no funciona con S k , que no es un objeto muy útil en sí mismo. De hecho, para calcular las funciones de correlación, habría que seguir el flujo de términos fuente (no locales), lo que no es realmente una opción. Entonces es mejor trabajar con un objeto que tenga una interpretación física cuando la escala de impulso k va a 0 0 , que será la acción efectiva Γ [ ϕ ] o energía libre de Gibbs, la transformación de Legendre de la función funcional generadora de funciones de correlación conectadas W = ln Z con respecto a las fuentes lineales. Depende del parámetro de orden ϕ = ⟨φ⟩ .

Para hacerlo, se introduce un término regulador en la ruta integral Δ S k , que reproducirá (de manera suave) el desacoplamiento de Wilson (modos con q > k están integrados y no los demás). La función de partición es entonces

Debido al plazo del regulador, Z k [ J ] es más o menos la función de partición exacta para el modo con q > k , y una función de partición de campo medio para los modos con q < k . La acción efectiva dependiente de la escala se define como una transformación de Legendre modificada de W k = ln Z k por La resta de Δ S k [ ϕ ] Es solo técnico. En el limite k → Λ , queremos suprimir todas las fluctuaciones, y Δ S k = Λ [ φ ] → ∞ , así que eso es la acción del campo medio (microscópico). Además, cuando k = 0 , Δ S k = 0 [ φ ] = 0 y se convierte en la acción efectiva exacta (cuántica). Al diferenciar con respecto a k , obtenemos una ecuación de flujo para Γ k [ ϕ ] , que se interpola entre el campo medio (microscópico) y la acción efectiva exacta (cuántica).

Esta ecuación de flujo no puede resolverse exactamente, y existen varios esquemas de aproximación para simplificar esta tarea. La ventaja de este método es que permite aproximaciones no perturbativas (en el sentido de ϵ expansión). En particular, las aproximaciones más simples son exactas en un bucle, recupera el primer orden de 4 - ϵ y 2 + ϵ expansión, así como la gran expansión de N. También hay esquemas que permiten mantener la mayor parte de la física microscópica, y permiten calcular diagramas de fase de (por ejemplo) sistemas cuánticos de muchos cuerpos. Finalmente, la ventaja de trabajar con Γ es que podemos extraer información física de ella (no solo puntos fijos del flujo, aunque uno también puede hacerlo). En particular, uno puede calcular las funciones de correlación para todos los momentos, cerca de un punto crítico, una tarea bastante difícil.

Para mí, la mejor introducción es la de B. Delamotte: arxiv: 0702.365