Campo lagrangiano de Schrodinger

Question

Campo lagrangiano de Schrodinger

Física
Dinámica-restringida
Formalismo-lagrangiano
Formalismo-hamiltoniano
Ecuación-de-schroedinger
Teoría-del-campo-cuántico

usuario5468

El Schrodinger lagrangiano habitual es

\begin{matrix} (1) & yo (ψ^{*} \partial_{t} ψ) + \frac{1}{2 metro} ψ^{*} (\nabla^{2}) ψ, \end{matrix}

que da las ecuaciones de movimiento correctas, con impulso conjugado para

ψ^{*}

ψ^{*}

ψ^{*}

ψ^{*}

ψ^{*}

desvanecimiento. Esta densidad lagrangiana no es real pero difiere de una densidad lagrangiana real

\begin{matrix} (2) & \frac{yo}{2} (ψ^{*} \partial_{t} ψ - ψ \partial_{t} ψ^{*}) + \frac{1}{2 metro} ψ^{*} (\nabla^{2}) ψ \end{matrix}

por una derivada total.

Mi problema es que estas dos densidades lagrangianas conducen a diferentes momentos conjugados y, por lo tanto, al establecer relaciones de conmutación de tiempo igual, obtengo resultados diferentes (un factor de 2 está causando el problema). Puedo reescalar los campos pero luego mi Hamiltoniano también cambia. Luego, aplicando la ecuación de movimiento de Heisenberg, no obtengo la ecuación del operador Schrodinger.

¿Es posible trabajar con la densidad lagrangiana real y de alguna manera obtener las relaciones de conmutación correctas? Hubiera esperado que dos lagrangianos que diferían en términos de derivadas totales proporcionaran relaciones de conmutación idénticas (ya que las transformaciones canónicas las preservan). Pero tal vez estoy cometiendo un error muy simple. A menos que todos los momentos conjugados sean equivalentes para dos lagrangianos que difieren en derivadas totales, ¿cómo se elige el correcto?

Supongo que lo mismo sucede con otros sistemas de primer orden como Dirac Lagrangian también.

Tomáš Brauner

No tengo tiempo para una respuesta detallada a su pregunta, pero puede ser útil echar un vistazo al final de la sección. 7.2 en el libro de texto de Weinberg (vol. 1). Discute el efecto de agregar una derivada de tiempo total al lagrangiano y muestra que, si bien modifica el impulso canónico, no afecta las relaciones de conmutación de la teoría.

Respuestas (1)

Campo lagrangiano de Schrodinger

No tengo tiempo para una respuesta detallada a su pregunta, pero puede ser útil echar un vistazo al final de la sección. 7.2 en el libro de texto de Weinberg (vol. 1). Discute el efecto de agregar una derivada de tiempo total al lagrangiano y muestra que, si bien modifica el impulso canónico, no afecta las relaciones de conmutación de la teoría.

Qmechanic · Answer 1

Aquí, por simplicidad, solo consideraremos el sistema Schrödinger. Asumiremos que

\begin{matrix} (UN) & ϕ = (ϕ^{1} + yo ϕ^{2}) / / \sqrt{2} \end{matrix}

es un campo complejo bosónico, y que

\begin{matrix} (SI) & ϕ^{*} = (ϕ^{1} - yo ϕ^{2}) / / \sqrt{2} \end{matrix}

es el complejo conjugado, donde $ϕ^{a}$ $ϕ^{a}$ $ϕ^{a}$ $ϕ^{a}$ $ϕ^{un}$ son los dos campos componentes reales, $a = 1, 2$ $a = 1, 2$ $un = 1, 2$ . [Tenga en cuenta el cambio en la notación $ψ ⟶ ϕ$ $ψ ⟶ ϕ$ $ψ ⟶ ϕ$ en comparación con la pregunta del OP (v1).]

1) La densidad lagrangiana

\begin{matrix} (C) & L : = yo ϕ^{*} \dot{ϕ} + \frac{1}{2 metro} ϕ^{*} \nabla^{2} ϕ \end{matrix}

para el campo Schrödinger $ϕ$ $ϕ$ $ϕ$ ya está en la forma hamiltoniana

\begin{matrix} (RE) & L = π \dot{ϕ} - H . \end{matrix}

Simplemente defina un momento complejo

\begin{matrix} (MI) & π : = yo ϕ^{*}, \end{matrix}

y densidad hamiltoniana

\begin{matrix} (F) & H : = - \frac{1}{2 metro} ϕ^{*} \nabla^{2} ϕ . \end{matrix}

De manera más general, esta identificación es un ejemplo simple del método Faddeev-Jackiw .

2) Recuerde que las ecuaciones de Euler-Lagrange no cambian agregando un $4$ $4$ $4 4$ -divergencia $d_{μ} Λ^{μ}$ $d_{μ} Λ^{μ}$ $d_{μ} Λ^{μ}$ $d_{μ} Λ^{μ}$ $d_{μ} Λ^{μ}$ $d_{μ} Λ^{μ}$ $d_{μ} Λ^{μ}$ $d_{μ} Λ^{μ}$ ${re}_{μ} Λ^{μ}$ a la densidad lagrangiana

\begin{matrix} (SOL) & L ⟶ L^{'} : = L + {re}_{μ} Λ^{μ}, \end{matrix}

cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE. [Usamos el símbolo $d_{μ}$ $d_{μ}$ $d_{μ}$ $d_{μ}$ ${re}_{μ}$ (más bien que $\partial_{μ}$ $\partial_{μ}$ $\partial_{μ}$ $\partial_{μ}$ $\partial_{μ}$ ) para enfatizar el hecho de que la derivada $d_{μ}$ $d_{μ}$ $d_{μ}$ $d_{μ}$ ${re}_{μ}$ es una derivada total , que implica tanto la diferenciación implícita a través de las variables de campo $ϕ^{a} (x)$ $ϕ^{a} (x)$ $ϕ^{a} (x)$ $ϕ^{a} (x)$ $ϕ^{a} (x)$ $ϕ^{a} (x)$ $ϕ^{un} (X)$ y diferenciación explícita wrt. $x^{μ}$ $x^{μ}$ $x^{μ}$ $x^{μ}$ $X^{μ}$ .] Por lo tanto, podemos (a través de la integración espacial por partes) elegir una densidad hamiltoniana equivalente

\begin{matrix} (H) & H ⟶ H^{'} : = \frac{1}{2 metro} El | \nabla ϕ {El |}^{2} = \frac{1}{4 4 metro} (\nabla ϕ^{1})^{2} + \frac{1}{4 4 metro} (\nabla ϕ^{2})^{2}, \end{matrix}

y podemos (a través de integraciones temporales por parte) elegir un término cinético equivalente

yo ϕ^{*} \dot{ϕ} = π \dot{ϕ} ⟶

\begin{matrix} (YO) & \frac{1}{2} (π \dot{ϕ} - ϕ \dot{π}) = \frac{yo}{2} (ϕ^{*} \dot{ϕ} - ϕ {\dot{ϕ}}^{*}) = \frac{1}{2} (ϕ^{2} {\dot{ϕ}}^{1} - ϕ^{1} {\dot{ϕ}}^{2}) ⟶ ϕ^{2} {\dot{ϕ}}^{1} . \end{matrix}

La última expresión muestra (de acuerdo con el método Faddeev-Jackiw) que

\begin{matrix} (J) & El segundo componente ϕ^{2} es el momento para el primer componente ϕ^{1} . \end{matrix}

3) Alternativamente, podemos realizar un análisis de Dirac-Bergmann $^{1}$ $^{1}$ $^{1}$ $^{1}$ directamente. Considere, por ejemplo, la densidad lagrangiana

\begin{matrix} (K) & L^{'} = (α + \frac{1}{2}) ϕ^{2} {\dot{ϕ}}^{1} + (α - \frac{1}{2}) ϕ^{1} {\dot{ϕ}}^{2} - H^{'}, \end{matrix}

dónde $α$ $α$ $α$ Es un número real arbitrario. [El termino $d (ϕ^{1} ϕ^{2}) / d t$ $d (ϕ^{1} ϕ^{2}) / d t$ $d (ϕ^{1} ϕ^{2}) / d t$ $d (ϕ^{1} ϕ^{2}) / d t$ $d (ϕ^{1} ϕ^{2}) / d t$ $d (ϕ^{1} ϕ^{2}) / d t$ $d (ϕ^{1} ϕ^{2}) / d t$ $d (ϕ^{1} ϕ^{2}) / d t$ $d (ϕ^{1} ϕ^{2}) / d t$ $d (ϕ^{1} ϕ^{2}) / d t$ $d (ϕ^{1} ϕ^{2}) / d t$ $d (ϕ^{1} ϕ^{2}) / d t$ $d (ϕ^{1} ϕ^{2}) / d t$ $d (ϕ^{1} ϕ^{2}) / d t$ $re (ϕ^{1} ϕ^{2}) / / re t$ , que se multiplica por $α$ $α$ $α$ en $L^{'}$ $L^{'}$ $L^{'}$ $L^{'}$ $L^{'}$ , es una derivada de tiempo total.] Verifiquemos que el procedimiento de cuantificación no dependa de este parámetro $α$ $α$ $α$ . Introducimos brackets canónicos de Poisson

{ϕ^{un} (X, t), ϕ^{si} (y, t)}_{PAG si} = 0 0,

{ϕ^{un} (X, t), π_{si} (y, t)}_{PAG si} = δ_{si}^{un} δ^{3} (X - y),

\begin{matrix} (L) & {π_{un} (X, t), π_{si} (y, t)}_{PAG si} = 0 0, \end{matrix}

de la manera estándar Los momentos canónicos $π_{a}$ $π_{a}$ $π_{a}$ $π_{a}$ $π_{un}$ se definen como

π_{1} : = \frac{\partial L^{'}}{\partial {\dot{ϕ}}^{1}} = (α + \frac{1}{2}) ϕ^{2},

\begin{matrix} (METRO) & π_{2} : = \frac{\partial L^{'}}{\partial {\dot{ϕ}}^{2}} = (α - \frac{1}{2}) ϕ^{1} . \end{matrix}

Estas dos definiciones producen dos restricciones principales.

χ_{1} : = π_{1} - (α + \frac{1}{2}) ϕ^{2} \approx 0 0,

\begin{matrix} (NORTE) & χ_{2} : = π_{2} - (α - \frac{1}{2}) ϕ^{1} \approx 0 0, \end{matrix}

donde el $\approx$ $\approx$ $\approx$ signo significa restricciones de módulo iguales. Las dos restricciones son de segunda clase, porque

\begin{matrix} (O) & {χ_{2} (X, t), χ_{1} (y, t)}_{PAG si} = δ^{3} (X - y) \neq 0. \end{matrix}

Por lo tanto, el soporte de Poisson debe reemplazarse por el soporte de Dirac . [No hay restricciones secundarias, porque

\begin{matrix} (PAG) & {\dot{χ}}_{un} (X, t) = {χ_{un} (X, t), H^{'} (t)}_{re si} = 0 0, H^{'} (t) : = \int {re}^{3} y H^{'} (y, t), \end{matrix}

se satisfacen automáticamente.] El soporte de Dirac entre los dos $ϕ^{a}$ $ϕ^{a}$ $ϕ^{a}$ $ϕ^{a}$ $ϕ^{un}$ es

\begin{matrix} (Q) & {ϕ^{1} (X, t), ϕ^{2} (y, t)}_{re si} = δ^{3} (X - y), \end{matrix}

llevando a la misma conclusión (J) que el método Faddeev-Jackiw. Tenga en cuenta que las ecuaciones. (O) y (Q) son independientes del parámetro $α$ $α$ $α$ .

4) En todos los casos, las relaciones canónicas de conmutación de igual tiempo para los operadores correspondientes se convierten en

[{\hat{ϕ}}^{1} (X, t), {\hat{ϕ}}^{2} (y, t)] = yo ℏ 1 δ^{3} (X - y),

[\hat{ϕ} (X, t), {\hat{ϕ}}^{†} (y, t)] = ℏ 1 δ^{3} (X - y),

\begin{matrix} (R) & [\hat{ϕ} (X, t), \hat{π} (y, t)] = yo ℏ 1 δ^{3} (X - y) . \end{matrix}

-

$^{1}$ $^{1}$ $^{1}$ $^{1}$ Véase, por ejemplo, M. Henneaux y C. Teitelboim, Quantization of Gauge Systems, 1992.

Muchas gracias a Qmechanic por una respuesta muy detallada. Realmente aprecio la ayuda.
Notas para más adelante: la acción de Schrödinger para múltiples partículas es $yo [ψ] = \int re t [\prod_{j = 1}^{norte} {re}^{3} X_{j}] L .$
Notas para más adelante: La densidad lagrangiana de Schrödinger es $L = \frac{yo ℏ}{2} (ψ^{*} \dot{ψ} - {\dot{ψ}}^{*} ψ) - \sum_{j = 1}^{norte} \frac{ℏ^{2}}{2 {metro}_{j}} El | \nabla_{j} ψ {El |}^{2} - V El | ψ {El |}^{2}$ $= - ρ \dot{S} - \sum_{j = 1}^{norte} \frac{ℏ^{2}}{2 {metro}_{j}} (\nabla_{j} \sqrt{ρ})^{2} - \sum_{j = 1}^{norte} \frac{ρ}{2 {metro}_{j}} (\nabla_{j} S)^{2} - ρ V,$ donde reescribimos la función de onda $ψ = \sqrt{ρ} \exp (\frac{i}{ℏ} S)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (\frac{i}{ℏ} S)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (\frac{i}{ℏ} S)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (\frac{i}{ℏ} S)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (\frac{i}{ℏ} S)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (\frac{i}{ℏ} S)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (\frac{i}{ℏ} S)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (\frac{i}{ℏ} S)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (\frac{i}{ℏ} S)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (\frac{i}{ℏ} S)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (\frac{i}{ℏ} S)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (\frac{i}{ℏ} S)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (\frac{i}{ℏ} S)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (\frac{i}{ℏ} S)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (\frac{i}{ℏ} S)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (\frac{i}{ℏ} S)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (\frac{i}{ℏ} S)$ $ψ = \sqrt{ρ} \exp (\frac{i}{ℏ} S)$ $ψ = \sqrt{ρ} Exp (\frac{yo}{ℏ} S)$ en coordenadas "polares" $ρ$ $ρ$ $ρ$ y $S$ $S$ $S$ .
Notas para más tarde: Caso $N = 1$ $N = 1$ $N = 1$ $N = 1$ $norte = 1$ : Tenga en cuenta que $ρ$ $ρ$ $ρ$ y $S$ $S$ $S$ son variables canónicas ${ρ (x), S (y)} = δ^{3} (x - y)$ ${ρ (x), S (y)} = δ^{3} (x - y)$ ${ρ (x), S (y)} = δ^{3} (x - y)$ ${ρ (x), S (y)} = δ^{3} (x - y)$ ${ρ (x), S (y)} = δ^{3} (x - y)$ ${ρ (x), S (y)} = δ^{3} (x - y)$ ${ρ (x), S (y)} = δ^{3} (x - y)$ ${ρ (x), S (y)} = δ^{3} (x - y)$ ${ρ (X), S (y)} = δ^{3} (X - y)$ , y eso $L$ $L$ $L$ ya está en el formulario de primer orden hamiltoniano. La imagen de Schrödinger sugiere una segunda cuantización, cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.
Notas para más tarde: las ecuaciones EL. wrt. $ρ$ $ρ$ $ρ$ y $S$ $S$ $S$ son $\dot{S} - \sum_{j = 1}^{norte} \frac{ℏ^{2}}{2 {metro}_{j} \sqrt{ρ}} \nabla_{j}^{2} \sqrt{ρ} + \sum_{j = 1}^{norte} \frac{1}{{metro}_{j}} (\nabla_{j} S)^{2} + V \approx 0 0 y \dot{ρ} + \sum_{j = 1}^{norte} \frac{1}{{metro}_{j}} \nabla_{j} \cdot (ρ \nabla_{j} S) \approx 0 0,$ respectivamente. Las ecuaciones de Madelung con $u_{j} := \frac{1}{m_{j}} \nabla_{j} S$ $u_{j} := \frac{1}{m_{j}} \nabla_{j} S$ $u_{j} := \frac{1}{m_{j}} \nabla_{j} S$ $u_{j} := \frac{1}{m_{j}} \nabla_{j} S$ $u_{j} := \frac{1}{m_{j}} \nabla_{j} S$ $u_{j} := \frac{1}{m_{j}} \nabla_{j} S$ $u_{j} := \frac{1}{m_{j}} \nabla_{j} S$ $u_{j} := \frac{1}{m_{j}} \nabla_{j} S$ $u_{j} := \frac{1}{m_{j}} \nabla_{j} S$ $u_{j} := \frac{1}{m_{j}} \nabla_{j} S$ $u_{j} := \frac{1}{m_{j}} \nabla_{j} S$ $u_{j} := \frac{1}{m_{j}} \nabla_{j} S$ $u_{j} := \frac{1}{m_{j}} \nabla_{j} S$ $u_{j} := \frac{1}{m_{j}} \nabla_{j} S$ $u_{j} := \frac{1}{m_{j}} \nabla_{j} S$ $u_{j} := \frac{1}{m_{j}} \nabla_{j} S$ ${tu}_{j} : = \frac{1}{{metro}_{j}} \nabla_{j} S$ son consecuencias directas (y análogos de las ecuaciones de Navier-Stokes). Ver también la teoría de la onda piloto de De Broglie – Bohm .

Campo lagrangiano de Schrodinger

usuario5468

Tomáš Brauner

Respuestas (1)

Qmechanic

usuario5468

Qmechanic ♦

Qmechanic ♦

Qmechanic ♦

Qmechanic ♦

Fuerzas generalizadas y energía potencial

Significado físico de la transformación de Legendre

¿Por qué tratar el campo escalar complejo y su complejo conjugado como dos campos diferentes?

Momentum Shell RG para el modelo Ising

Construyendo soluciones a la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo

Propagador de fotones completo en el cálculo de la matriz S

Si los fotones llevan 1 unidad de rotación, ¿por qué la luz visible parece no tener momento angular?

Integrales sobre números grassmann

¿Cómo entender la idea del grupo de renormalización funcional?

Las variables dinámicas en el formalismo lagrangiano