Integrales sobre números grassmann

Quiero demostrar una identidad de Peskin & Schroeder, a saber, que

( ∏ yo ∫ re θ ∗ yo re θ yo ) θ ∗ metro θ l Exp ( θ ∗ j si j k θ k ) = det ( B ) B - 1 m l ( ∏ yo ∫ re θ yo ∗ re θ yo ) θ metro ∗ θ l Exp ⁡ ( θ j ∗ si j k θ k ) = det ( si ) si metro l - 1
si si es un hermiteam norte × N norte × norte matriz y norte norte debería ser parejo. θ j θ j y θ ∗ j θ j ∗ son norte norte números complejos de grassmann.

Me gustaría hacerlo de manera similar al caso de las integrales gaussianas complejas y no de Grassmann, donde se introduce artificialmente un término en el exponencial y luego se diferencia. Podría probar que

( ∏ yo ∫ re θ ∗ yo re θ yo ) exp ( θ ∗ j si j k θ k + η ∗ j θ j + θ ∗ j η j ) = det ( B ) exp ( - η ∗ j si - 1 j k η k ) ( ∏ yo ∫ re θ yo ∗ re θ yo ) Exp ⁡ ( θ j ∗ si j k θ k + η j ∗ θ j + θ j ∗ η j ) = det ( si ) Exp ⁡ ( - η j ∗ si j k - 1 η k )
dónde η η y θ θ son números de Grassmann (complejos). Si fueran solo variables complejas, el resto estaría claro. Podría obtener la primera ecuación diferenciando la segunda con respecto a η metro η metro y η ∗ l η l ∗ y luego dejar η = η ∗ = 0 η = η ∗ = 0 0 . El problema es que para un número de grassman el exponencial es mi θ = 1 + θ mi θ = 1 + θ ya que todos los términos de pedidos superiores se cancelan Para una suma como la que tenemos aquí, también debe haber términos de segundo orden, pero sin embargo, la exponencial no se reproduce por diferenciación.

Sin embargo, ¿puedo obtener el resultado deseado de esa manera? Parece bastante prometedor, simplemente no veo, cómo pasar de la segunda ecuación (lado izquierdo) a la primera ecuación (lado izquierdo). Debería funcionar diferenciando, pero no veo por qué.

Mientras mi θ = 1 + θ mi θ = 1 + θ , mi θ + ϕ = 1 + θ + ϕ + 1 2 θ ϕ mi θ + ϕ = 1 + θ + ϕ + 1 2 θ ϕ , así que ten cuidado.
La forma "rápida" de hacer este cálculo es hacer una transformación unitaria de variables que haga si si diagonal, (la medida de integración no ha cambiado). Todo lo que queda es hacer un producto de integrales unidimensionales.
@lionelbrits es? la transformación unitaria introduce la matriz unitaria debido a θ metro θ metro y θ l θ l . ¿Cómo te deshaces de ellos?
Gracias silv. Mi comentario esta mal No pensé en los índices libres.

Respuestas (1)

EDITAR

El método que desea utilizar está bien y proporciona un resultado rápido. Aquí está:

yo = ∫ ∏ d θ ∗ re θ θ ∗ k θ l e x p ( θ ∗ B θ + η ∗ θ + θ ∗ η ) = ( ∂ ∂ η ∗ k ) ( ∂ ∂ η l ) ∫ ∏ d θ ∗ re θ e x p ( θ ∗ B θ + η ∗ θ + θ ∗ η ) yo = ∫ ∏ re θ ∗ re θ θ k ∗ θ l mi X pag ( θ ∗ si θ + η ∗ θ + θ ∗ η ) = ( ∂ ∂ η k ∗ ) ( ∂ ∂ η l ) ∫ ∏ re θ ∗ re θ mi X pag ( θ ∗ si θ + η ∗ θ + θ ∗ η )

de donde se sigue que yo yo es igual a

yo = d e t B ( ∂ ∂ η ∗ k ) ( ∂ ∂ η l ) e x p ( η ∗ j ( B - 1 ) yo j η yo ) ∣ ∣ ∣ η ∗ = η = 0 yo = re mi t si ( ∂ ∂ η k ∗ ) ( ∂ ∂ η l ) mi X pag ( η j ∗ ( si - 1 ) yo j η yo ) El | η ∗ = η = 0 0

yo = d e t B ( B - 1 ) k l yo = re mi t si ( si - 1 ) k l

Nota: uso el turno θ yo → θ yo + ( B - 1 ) yo j η j θ yo → θ yo + ( si - 1 ) yo j η j y θ ∗ yo → θ ∗ yo + η ∗ j ( B - 1 ) j i θ yo ∗ → θ yo ∗ + η j ∗ ( si - 1 ) j yo . Aquí utilicé el hecho de que los segundos momentos se pueden calcular como derivados de la siguiente manera.

⟨Η l η ∗ k ⟩ = ( ∂ ∂ η ∗ k ) ( ∂ ∂ η l ) e x p ( η ∗ j ( B - 1 ) yo j η yo ) ∣ ∣ ∣ η ∗ = η = 0 = ( B - 1 ) yo j ⟨ η l η k ∗ ⟩ = ( ∂ ∂ η k ∗ ) ( ∂ ∂ η l ) mi X pag ( η j ∗ ( si - 1 ) yo j η yo ) El | η ∗ = η = 0 0 = ( si - 1 ) yo j

Más o menos, puedes tomar esto como una definición. Pero si aún quieres probar esto, haz lo siguiente:

J = ( ∂ ∂ η ∗ k ) ( ∂ ∂ η l ) e x p ( η ∗ j ( B - 1 ) yo j η yo ) = ( ∂ ∂ η ∗ k ) ( ∂ ∂ η l ) ∏ yo j ( 1 - η ∗ j ( B - 1 ) yo j η yo ) J = ( ∂ ∂ η k ∗ ) ( ∂ ∂ η l ) mi X pag ( η j ∗ ( si - 1 ) yo j η yo ) = ( ∂ ∂ η k ∗ ) ( ∂ ∂ η l ) ∏ yo j ( 1 - η j ∗ ( si - 1 ) yo j η yo )

Después de una diferenciación directa, obtienes

J = ∏ yo j δ k j δ l i ( B - 1 ) yo j = ( B - 1 ) k l J = ∏ yo j δ k j δ l yo ( si - 1 ) yo j = ( si - 1 ) k l

Puedes ignorar lo que está debajo de la línea, esa fue mi primera respuesta. Pero lo dejaré porque puede ser instructivo para otros.

Como todavía no puedo comentar, esbozaré una prueba para un caso más simple

yo = ∫ ∏ yo re θ ∗ yo re θ yo e x p ( θ ∗ yo si yo j θ j ) = d e t ( B ) yo = ∫ ∏ yo re θ yo ∗ re θ yo mi X pag ( θ yo ∗ si yo j θ j ) = re mi t ( si )

y espero que esto te ayude a calcular tus integrales. Después de expandir todo el exponencial llegamos a

yo = 1 norte ! ∫ re θ ∗ 1 re θ 1 ... d θ ∗ norte re θ norte ( θ ∗ yo 1 si yo 1 j 1 θ j 1 ) ( θ ∗ yo 2 si yo 2 j 2 θ j 2 ) … ( Θ ∗ yo norte si yo norte j norte θ j norte ) yo = 1 norte ! ∫ re θ 1 ∗ re θ 1 ... re θ norte ∗ re θ norte ( θ yo 1 ∗ si yo 1 j 1 θ j 1 ) ( θ yo 2 ∗ si yo 2 j 2 θ j 2 ) ... ( θ yo norte ∗ si yo norte j norte θ j norte )

En este punto, algunas explicaciones están en orden. El factor 1 / N ! 1 / / norte ! surge de la expansión de los exponenciales. Para ver cómo se obtuvo el integrando, veamos el caso cuando norte = 2 norte = 2 . Tendremos algo como esto

∫ re θ ∗ 1 re θ 1 re θ ∗ 2 re θ 2 ( 1 + θ ∗ yo si yo j θ j + ( θ ∗ yo si yo j θ j ) 2 2 ! + ⋯ ) ∫ re θ 1 ∗ re θ 1 re θ 2 ∗ re θ 2 ( 1 + θ yo ∗ si yo j θ j + ( θ yo ∗ si yo j θ j ) 2 2 ! + ⋯ )

Es obvio que solo el término cuadrático contribuirá a la integral anterior, porque solo este término puede saturar el número de variables de Grassmann en la medida integral.

∫ re θ ∗ 1 re θ 1 re θ ∗ 2 re θ 2 ( ( θ ∗ yo si yo j θ j ) 2 2 ! ) = 1 2 ∫ re θ ∗ 1 re θ 1 re θ ∗ 2 re θ 2 ∑ yo 1 yo 2 j 1 j 2 2 ( θ ∗ yo 1 si yo 1 j 1 θ j 1 ) ( θ ∗ yo 2 si yo 2 j 2 θ j 2 ) ∫ re θ 1 ∗ re θ 1 re θ 2 ∗ re θ 2 ( ( θ yo ∗ si yo j θ j ) 2 2 ! ) = 1 2 ∫ re θ 1 ∗ re θ 1 re θ 2 ∗ re θ 2 ∑ yo 1 , yo 2 , j 1 , j 2 2 ( θ yo 1 ∗ si yo 1 j 1 θ j 1 ) ( θ yo 2 ∗ si yo 2 j 2 θ j 2 )

Expandiendo la suma y realizando las cuatro integrales, obtenemos

∫ re θ ∗ 1 re θ 1 re θ ∗ 2 re θ 2 ( ( θ ∗ yo si yo j θ j ) 2 2 ! ) = 1 2 ! [ 2 ( B 11 si 22 - B 12 si 21 ) ] = d e t B ∫ re θ 1 ∗ re θ 1 re θ 2 ∗ re θ 2 ( ( θ yo ∗ si yo j θ j ) 2 2 ! ) = 1 2 ! [ 2 ( si 11 si 22 - si 12 si 21 ) ] = re mi t si

Ahora, regresemos a nuestra integral original yo yo . El siguiente paso antes de realizar las integrales es reordenar las integrales y los números grassmann.

yo = 1 norte ! ∫ re θ ∗ 1 ... d θ ∗ norte θ ∗ yo 1 ... θ ∗ yo 1 ∫ θ 1 ... d θ norte θ j 1 ... θ j 1 si yo 1 j 1 ... B yo norte j norte yo = 1 norte ! ∫ re θ 1 ∗ ... re θ norte ∗ θ yo 1 ∗ ... θ yo 1 ∗ ∫ θ 1 ... re θ norte θ j 1 ... θ j 1 si yo 1 j 1 ... si yo norte j norte

De donde finalmente llegamos

yo = 1 norte ! ϵ yo 1 ... yo norte ϵ j 1 ... j norte si yo 1 j 1 ... B yo norte j norte = d e t B yo = 1 norte ! ϵ yo 1 ... yo norte ϵ j 1 ... j norte si yo 1 j 1 ... si yo norte j norte = re mi t si

(nota: el resultado del pedido una 1 si 1 ... un norte si norte = a 1 ... un norte si 1 ... b norte ( - 1 ) norte ( N - 1 ) / 2 una 1 si 1 ... una norte si norte = una 1 ... una norte si 1 ... si norte ( - 1 ) norte ( norte - 1 ) / / 2 tiene que usarse dos veces para las integrales).

Encontré que este método es el más simple de todos cuando se trata con este tipo de integrales. Espero que esto te ayude a probar esas relaciones. El mismo método se puede aplicar muy fácilmente en su caso (solo una extensión directa). Y con el método que describiste, parece que te estás complicando demasiado. Sin embargo, trabajaré un poco y veré qué sucede.

¿A qué paso te refieres?
El problema es este paso. La función exponencial en la primera integral es solo una suma hasta el grado 2, supongo, por lo que no puedo calcular con ella como con una función e normal.
yo = d e t B ( ∂ ∂ η ∗ k ) ( - ∂ ∂ η l ) e x p ( η ∗ si - 1 η ) yo = re mi t si ( ∂ ∂ η k ∗ ) ( - ∂ ∂ η l ) mi X pag ( η ∗ si - 1 η )
Por ejemplo
∂ θ Exp ( θ ) = 1 ≠ exp ( θ ) ∂ θ Exp ⁡ ( θ ) = 1 ≠ Exp ⁡ ( θ )
Y, por supuesto, también el paso anterior
yo = ∫ ∏ d θ ∗ re θ θ ∗ k θ l e x p ( θ ∗ B θ + η ∗ θ + θ ∗ η ) = ( ∂ ∂ η ∗ k ) ( - ∂ ∂ η l ) ∫ ∏ d θ ∗ re θ e x p ( θ ∗ B θ + η ∗ θ + θ ∗ η ) yo = ∫ ∏ re θ ∗ re θ θ k ∗ θ l mi X pag ( θ ∗ si θ + η ∗ θ + θ ∗ η ) = ( ∂ ∂ η k ∗ ) ( - ∂ ∂ η l ) ∫ ∏ re θ ∗ re θ mi X pag ( θ ∗ si θ + η ∗ θ + θ ∗ η )
No estoy seguro de cómo lidiar con los exponenciales. Para mí, parece que ignoraste que hay números de Grassmann.
Un paso a la vez. En una dimensión sería correcto con ∂ θ Exp ( θ ) = 1 ∂ θ Exp ⁡ ( θ ) = 1 pero lidias con múltiples dimensiones. Tal vez mi notación fue descuidada, pero en lo exponencial, debería haber escrito índices para η η y θ θ . El truco consistía en tomar los derivados con respecto a los índices. k , l k , l no i , j yo , j como se encuentra en la exponencial. Y en múltiples dimensiones esto tiene ∂ θ j ∂ θ yo = δ yo j - θ j ∂ ∂ θ yo ∂ θ j ∂ θ yo = δ yo j - θ j ∂ ∂ θ yo . Entonces debes usar esto cuando hagas la derivada.
Sí, pero en la integral tenemos una suma, donde cada índice está contenido. Entonces no entiendo por qué la función exponencial sigue ahí después de la diferenciación. ¿Podría mostrar cómo aplicar la regla que acaba de mencionar conduce al resultado?
Integrales sobre números grassmann
RespuestasAquíPolítica de privacidad54y, 0v