¿Cómo encontrar un punto final de un arco dado otro punto final, radio y dirección del arco?

¡Bienvenido a Math.SE! Aquí está mi boceto para el caso de la dirección de las manecillas del reloj: el punto inicial es$A$, el punto final que desea es$B$, y$C$es el radio de la circunferencia sobre la que se encuentra el arco.

Usaré ángulos polares: puedes ver la descripción en Wikipedia . También se utilizarán las fórmulas para la conversión de polar a cartesiano (en el mismo artículo de wiki).

En la foto,$\theta$es el ángulo polar de la dirección en la que la curva parte del punto$A$. Dado que cualquier radio de un círculo es perpendicular al círculo, el ángulo polar del vector$\vec{CA}$es$\theta+\pi/2$. El largo de$\vec{CA}$es$r$. Por lo tanto, sus coordenadas cartesianas son

$$\vec {CA} = ( r\cos(\theta+\pi/2), r\sin(\theta+\pi/2)) = ( -r\sin(\theta), r\cos(\theta))$$ A continuación, necesitamos las coordenadas del vector $\vec{CB}$. Su longitud también es $r$. Desde $\angle ACB$es $L/r$radianes, el ángulo polar de $\vec{CB}$es $\theta+\pi/2-L/r$. Convertir a cartesiano: $$\vec {CB} = ( r\cos(\theta+\pi/2-L/r), r\sin(\theta+\pi/2-L/r)) = ( -r\sin(\theta-L/r), r\cos(\theta-L/r))$$ Finalmente, $\vec{AB}=\vec{CB}-\vec{CA}$, cuyos rendimientos $$\boxed{\vec {AB} = ( -r\sin(\theta-L/r)+r\sin(\theta), r\cos(\theta-L/r)-r\cos(\theta)) }$$

Estos se pueden reescribir usando algunas identidades trigonométricas, pero no creo que ganaría nada. Como control de cordura, considere lo que sucede cuando$L=0$: el vector es cero, por lo tanto$B$es lo mismo que$A$. Aparte, si$r\to \infty$la curva se convierte en un segmento de línea recta, pero averiguar el límite es un ejercicio de cálculo.:-)

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Si la curva se dobla en sentido antihorario, las señales serán diferentes en algunos lugares. Es decir, el ángulo polar de$\vec{CA}$será$\theta-\pi/2$, por eso

$$\vec {CA} = ( r\sin(\theta), -r\cos(\theta))$$ El ángulo polar de $\vec{CB}$será $\theta-\pi/2+L/r$, por eso $$\vec {CB} = ( r\sin(\theta+L/r), -r\cos(\theta+L/r))$$ La conclusión en este caso es $$\boxed{\vec {AB} = ( r\sin(\theta+L/r)-r\sin(\theta), -r\cos(\theta+L/r)+r\cos(\theta))}$$

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Más tarde: una solución más simple para el caso cuando$C$es dado. Primero, calcule el vector$\vec{CA}$y conviértalo a coordenadas polares usando estas fórmulas . Luego aumente o disminuya el ángulo en$L/r$, dependiendo de la elección en sentido antihorario/horario.

Como quería JavaScript, hice un jsfiddle y también copié el código a continuación. Los parámetros son las coordenadas de A y C, así como la longitud del arco y la dirección. el radio$r$se calcula dentro de la función.

function findB(Ax, Ay, Cx, Cy, L, clockwise) {
    var r = Math.sqrt(Math.pow(Ax - Cx, 2) + Math.pow(Ay - Cy, 2));
    var angle = Math.atan2(Ay - Cy, Ax - Cx);
    if (clockwise) {
        angle = angle - L / r;
    }
    else {
        angle = angle + L / r;
    }
    var Bx = Cx + r * Math.cos(angle);
    var By = Cy + r * Math.sin(angle);
    return [Bx, By];
}
document.write(findB(0, 1, 1, 0, 1, true));