¿Cómo derivar la matriz de octetos de bariones?

El octeto bariónico sale del triple producto tensorial del triplete,

$$\boldsymbol{3}\otimes\boldsymbol{3}\otimes\boldsymbol{3}=\boldsymbol{8}\oplus\dotsm\,,$$ (ver también aquí ) donde puedes pensar en el triplete como $\boldsymbol{3}=(u,d,s)^T$. El octeto es de simetría mixta: una forma de escribir explícitamente el contenido de los quarks es construir primero el antitriplete en $\boldsymbol{3}\otimes\boldsymbol{3}=\bar{\boldsymbol{3}}\oplus \boldsymbol{6}$, que es la combinación antisimétrica ( $\bar{\boldsymbol{3}}^i=\frac{1}{2}\epsilon^{ijk}\boldsymbol{3}_j\boldsymbol{3}_k$): $$\bar{\boldsymbol{3}}=\left([ds],[su],[ud]\right)\,.$$ Aquí $[ds]=\frac{1}{2} (ds-sd)$. Ahora el producto tensorial se convierte en $$\bar{\boldsymbol{3}}\otimes\boldsymbol{3} =\begin{pmatrix}u\\d\\s\end{pmatrix}\otimes \left([ds],[su],[ud]\right)\big|_\text{traceless} = \left.\begin{pmatrix}u[ds] & u[su] & u[ud]\\d[ds]& d[su] & d[ud]\\s[ds] & s[su] & s[ud]\end{pmatrix}\right|_\text{traceless}\,,$$ de donde puede leer el contenido de quarks de las entradas. La parte difícil restante es la identificación precisa de las diagonales para que el octeto no tenga trazas y las funciones de onda se normalicen correctamente.

La simetría del estado completo es realmente más complicada (sabor, color, espín, espacial) y debe ser antisimétrica en general, ya que los quarks son fermiones. El estado de color también es antisimétrico (es decir, incoloro según$SU(3)_\text{colour}$). Por lo tanto, el estado restante tiene que ser simétrico en sabor.$\times$girar$\times$parte espacial. Los estados fundamentales tienen un momento angular orbital$L=0$, por lo que la parte espacial también es simétrica. Así, el sabor$\times$el espín tiene que ser simétrico.

La traza de la matriz anterior corresponde a la combinación de sabores totalmente antisimétrica de$uds$, por lo que el estado de giro también tendría que ser totalmente antisimétrico, pero esto no es posible; por lo tanto, la traza (singlete) corresponde a un estado excitado (de isospín cero, es decir, algo más alto$\Lambda$). Ahora todo lo que queda es identificar las otras dos combinaciones en la diagonal. Aquí, en lugar de pasar por los detalles, podemos usar el hecho de que el isospin$SU(2)$actúa sobre las dos primeras filas/columnas de esta formulación: Por lo tanto, el$(33)$la entrada tiene$I=0$, mientras que la$(11)$y$(22)$Las partes son combinaciones de$I=0$(singlete -- matriz unitaria en$(12)$-espacio) y$I=1$(triplete -- diagonal$\sim\sigma^3$). El isosinglete se llama$\Lambda$, el triplete es$\Sigma^0$(bueno, la parte neutra del triplete con$\Sigma^\pm$). La falta total de trazas impone entonces la diagonal.

$$\begin{pmatrix} a\Sigma^0 +b\Lambda &&\\&-a\Sigma^0 +b \Lambda&\\&&-2b\Lambda\end{pmatrix}\,,$$ y los coeficientes $a$y $b$finalmente se arreglan al requerir la normalización $$\operatorname{tr} B^\dagger B =1$$ para cada estado.