¿Por qué antisimetrizamos la función de onda del barión pero no la del mesón?

La extensión que propone Griffiths no es tan drástica como crees. Cuando aprende por primera vez sobre partículas idénticas, antisimetriza solo la función de onda espacial. Más tarde, agrega el espín y antisimetriza las funciones combinadas de espín y onda espacial. Pero este es un gran salto conceptual, porque un electrón que gira hacia arriba y hacia abajo no son partículas idénticas. El principio de exclusión de Pauli no se aplica a ellos; puedes poner un electrón de giro hacia arriba y hacia abajo en el mismo estado.

Ahora el salto para incluir la 'función de onda de sabor' es el mismo. Un quark up y un quark down no son partículas idénticas y, de hecho, se pueden poner en el mismo estado. Podría argumentar que incluir el espín es diferente porque puede voltearlo con una rotación, pero los estados de los quarks hacia arriba y hacia abajo se pueden voltear mediante una rotación de isospín; la situación es realmente exactamente análoga.

Entonces, el giro y el sabor están en los mismos terrenos; ninguno de ellos está correctamente justificado con el argumento estándar de la 'mecánica cuántica' de intercambiar las posiciones de dos partículas, ya que eso solo se aplica a la función de onda espacial. En cambio, tenemos que ir a la teoría cuántica de campos. La razón por la que la función de onda espacial es antisimétrica es porque los operadores de creación son anticonmutadores,

$$a_x^\dagger a_y^\dagger |0 \rangle = - a_y^\dagger a_x^\dagger |0 \rangle.$$ Pero los índices espaciales $x$y $y$son como cualquier otro tipo de índice; en realidad, también deberíamos tener índices de sabor, color y giro. Luego, por la misma lógica, la antisimetría general de la función de onda de sabor/color/espín/espacio se deriva del hecho de que cualquier operador de creación fermiónica es anticonmutador.

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Entonces, ¿por qué no antisimetrizamos las funciones de onda de los mesones? Considere una caja de 10 electrones y un undécimo electrón a un año luz de distancia. La función de onda para los 11 electrones debe ser antisimetrizada por el argumento general anterior, pero nada cambia si solo antisimetrizamos los primeros 10. Concretamente, eso se debe a que lo único observable que hace la antisimetrización es agregar una fuerza de intercambio, y el 11º electrón nunca será lo suficientemente cerca para sentirlo. Conceptualmente, podemos decir que el electrón 11 se distingue en virtud de su posición: es 'el que está lejos'.

De manera similar, si tenemos un átomo con 10 electrones con giro hacia arriba y 1 electrón con giro hacia abajo, podemos tratar el electrón con giro hacia abajo como separado de la función de onda antisimetrizada de los otros 10, distinguibles por su giro. La verdadera función de onda de las 11 sigue siendo completamente antisimétrica según el argumento dado anteriormente, pero nada sale mal aquí si olvidamos eso; no entraremos en conflicto con el principio de exclusión de Pauli por accidente.

Ahora pasamos a mesones y bariones.

• En el caso de los mesones, los quarks son siempre efectivamente distinguibles porque solo uno de ellos es una antipartícula, o equivalentemente, solo uno tiene anticolor.
• Para los bariones con los tres quarks distintos, se aplica el mismo razonamiento; las partículas se distinguen efectivamente por sus sabores. Por ejemplo, considere$uds$bariones. Si tratamos las partículas como distinguibles, hay$2^3 = 8$asignaciones de giro, y en consecuencia hay$8$energía baja$uds$bariones. (Son los cuatro estados de espín del${\Sigma^*}^0$y los dos estados de espín del$\Sigma^0$y$\Lambda$.)
• Para bariones con algunos quarks iguales, ninguno de los quarks es efectivamente distinguible; debemos tener en cuenta la antisimetría completa. Por ejemplo, solo hay$4$bariones con contenido de quarks$uuu$, no$8$. (Son los cuatro estados de espín del$\Delta^{++}$.) Del mismo modo, sólo hay$6$con contenido de quarks$uud$. (Son los cuatro estados de espín del$\Delta^+$y los dos del protón.)

Entonces, las partículas en un mesón siempre se distinguen efectivamente, pero las partículas en un barión solo lo son algunas veces. Es más económico tratar todos los bariones de la misma manera, de ahí viene la regla de 'antisimetrizar bariones pero no mesones'.