Etiquetado de representaciones usando isospin e hipercarga

Por isospin, supongo que te refieres a isospin débil, que es una simetría de calibre exacta del modelo estándar. Hay otra cosa llamada isospín de sabor que es una simetría global aproximada de la interacción fuerte. Además, esta es una respuesta larga porque he incluido antecedentes y ejemplos que puede necesitar o no. Si no le explico las cosas lo suficientemente bien, le sugiero que intente pedir prestada una copia del excelente libro de teoría de campos de Zee y lea las secciones sobre la gran unificación. Sus ejemplos son bastante similares a los míos, aunque aquí estoy trabajando con la memoria. Cualquier error es mío. Tampoco estoy haciendo mucho esfuerzo en signos y factores de dos para esto.

El grupo de calibre electrodébil del modelo estándar es SU(2)xU(1). Los generadores SU(2) actúan sobre índices de isospín y el U(1) es la hipercarga. Entonces, cuando alguien dice que algún conjunto de campos$\psi_i$transformar en el$R$representación significan que las transformaciones

$$\delta\psi_i \propto \epsilon_A \left(T^{A(R)}\right)^j_i \psi_j + \epsilon_Y Y \psi_i$$ son una simetría, donde $\epsilon_A$y $\epsilon_Y$son los parámetros de transformación y $T^{A(R)}$y $Y$son los generadores en la representación dada. Esto es esencialmente cierto para cualquier teoría de calibre. Para SU (2) específicamente, puede usar la teoría del momento angular ya que el álgebra de $SO(3)$y $SU(2)$son lo mismo. Los términos singlete, doblete, etc. solo se refieren al número de campos en la representación. Por ejemplo, un doblete tiene dos campos.

$$\Psi = \left( \begin{array}{c} \psi_1 \\ \psi_2 \end{array} \right)$$

y los generadores SU(2) son proporcionales a las matrices de Pauli usuales

$$T^{A(1/2)} = \frac{1}{2} \sigma^A,\ A=1,2,3$$

Estos NO son los generadores de momento angular. No tienen nada que ver con el espacio-tiempo y el índice isospin no es un índice de espacio-tiempo. Da la casualidad de que, debido a que el grupo es SU(2), el álgebra es idéntica a la del momento angular. La interpretación física es completamente diferente.

Ahora, la parte principal es que su pregunta se aborda mejor a través de un ejemplo. Si incrusta el grupo de calibre del modelo estándar en un grupo más grande (para una gran unificación, por ejemplo), puede usar el mecanismo de Higgs para dar masa a los nuevos bosones de calibre y empujarlos por encima de la escala de energía que le interesa. En el caso general incrusta SU(2)xU(1) (o lo que sea) en su grupo más grande, luego divide el grupo más grande dando a los bosones de calibre extra una masa pesada, luego escribe el término de interacción para sus campos de materia y, enfocándose solo en los bosones de calibre ligero, identifique las interacciones no suprimidas usando las formas explícitas de los generadores y lea los números cuánticos en su grupo de calibre continuo. Generalmente, una representación irreducible del grupo más grande se dividirá en varias partes cuando solo se incluyan los bosones ligeros.

Daré un ejemplo rápido de cómo se logra esta ruptura. Lo dejaré para que lea sobre GUT y confíe en las referencias estándar para obtener factores de dos y signos correctos.

Supongamos, por ejemplo, que tiene SU(3) y lo descompone en SU(2)xU(1) (las estrategias GUT normales son SU(5) y SO(10), pero no obstante). SU(3) tiene 8 generadores mientras que SU(2)xU(1) solo tiene 4. Así que hay 4 bosones de calibre extra de los que tenemos que deshacernos a través de un Higgs elegido juiciosamente.

Los generadores de SU(3) son las matrices de Gell-Mann $g_i$para$i=1,\cdots,8$. Podemos identificar un subgrupo SU(2) generado por$g_1,g_2,g_3$y una U(1) que conmuta con la SU(2) generada por$g_8$. Estos se convertirán en los generadores de isospín e hipercarga de nuestro SU(2)xU(1) ininterrumpido. Los otros generadores tienen que corresponder a bosones de calibre que obtienen una masa a través del mecanismo de Higgs.

Tomemos un Higgs adjunto (ocho componentes en correspondencia uno a uno con los generadores) y vayamos a un indicador donde el valor esperado de vacío (vev) está en el$g_8$componente:

$$<\phi> = v g_8$$

La matriz de masa para los bosones de calibre se convierte en

$$M_{ij} = e^2 \mathrm{Tr}\left( [g_i, <\phi>] [g_j, <\phi>] \right)$$

dónde$e$es la (notación inusual aquí) SU(3) constante de acoplamiento y$[ , ]$es el conmutador de matriz. Tenga en cuenta que podría faltar un signo o un factor numérico aquí. En cualquier caso, aquellos generadores que conmutan con el vev corresponden a bosones de calibre que quedan sin masa, mientras que los que no conmutan toman una masa del orden$e v$. Verás si calculas los conmutadores que esto selecciona solo los bosones que queremos que permanezcan sin masa (1,2,3,8) y los que queremos que ganen masa (4,5,6,7). Entonces este Higgs logrará romper SU(3) -> SU(2)xU(1). Identificamos los generadores SU(2) como$T^1 = g_1$etc. y el generador U(1) como$Y = g_8$.

Ahora podemos hablar de incrustar representaciones de materia en la teoría y ver cómo se descomponen. Tome un campo de Dirac en la fundamental de SU(3). Este es un triplete (tres componentes) que se transforma como un vector sobre el que actúan las matrices de Gell-Mann (eso es todo lo que significa "fundamental" en este contexto). Esta es una generalización directa del ejemplo SU(2) de antes:

$$\Psi = \left( \begin{array}{c} \psi_1 \\ \psi_2 \\ \psi_3 \end{array} \right)$$

El término de interacción en el Lagrangiano será

$$L \supset e A^i_\mu \bar{\Psi} g_i \gamma^\mu \Psi$$

donde el$A^i_\mu$son los diversos bosones de norma. Ahora empieza a actuar en esto$\Psi$con los diversos generadores para ver cómo se acoplan los diferentes bosones de calibre. Dado que los bosones 4, 5, 6 y 7 son masivos, desaparecen de la teoría. Estos median interacciones que cambian$\psi_1$y$\psi_2$en$\psi_3$y viceversa. Estas interacciones son suprimidas por las masas de los bosones pesados ​​y son análogas a procesos muy raros como la descomposición de protones que debería ocurrir en las GUT. Los bosones sin masa restantes no mezclan el$\psi_1$y$\psi_2$con$\psi_3$, por lo que la representación se divide en dos partes: un doblete ($\psi_1$y$\psi_2$) que siente la interacción SU(2) así como la hipercarga, y un singlete$\psi_3$que solo siente la interacción de hipercarga. Decimos que la ruptura ocurre en un patrón 3 -> 2 + 1. Puede leer los números cuánticos de isospín e hipercarga de los diversos campos de la interacción Lagrangiana.

Otro ejemplo es un campo de materia en la misma representación que el Higgs, el adjunto (octecto). Esta vez la interacción Lagrangiana involucra al conmutador de los generadores$g_i$con el campo de la materia. Nuevamente, puede ignorar los generadores 4, 5, 6 y 7 y leer los números cuánticos de isospín/hipercarga del Lagrangiano. Este es un ejemplo más complejo, pero el truco consiste en escribir el campo de materia como una matriz hermítica sin trazas.$\Psi^i_j$dónde$i,j=1,2,3$. Esto se divide en varias partes:$\Psi^a_b$dónde$a,b=1,2$que se descompone aún más en una traza (singlete) y una matriz 2x2 sin trazas (triplete),$\Psi^3_b$y$\Psi^a_3$(dobles).$\Psi^3_3$es en realidad la traza singlete que ya contamos. Entonces 8 -> 1 + 3 + 2 + 2 en este caso. (Espero que esto sea correcto, ¡no estoy usando ninguna referencia y voy bastante rápido! Por favor, que alguien me corrija si me equivoco).

Espero que esto ayude de alguna manera a responder su pregunta.