'Ambigüedad' de vectores duales {dxi}{dxi}\{dx^i\} en espacio cotangente en relatividad general

Question

'Ambigüedad' de vectores duales {dxi}{dxi}\{dx^i\} en espacio cotangente en relatividad general

maestro de matemáticas

El tensor métrico se define como:

gramo = {gramo}_{i j} d X^{i} \otimes d X^{j},

$g = g_{ij}dx^i \otimes dx^j,$

donde utilicé la convención de suma. A menudo omitimos el signo del producto tensorial $\otimes$ y solo escribe esto como:

gramo = {gramo}_{i j} d X^{i} d X^{j} .

$g = g_{ij}dx^idx^j.$

Mi pregunta es sobre el elemento de línea que también está escrito como:

d s^{2} = {gramo}_{i j} d X^{i} d X^{j} .

$ds^2 = g_{ij}dx^i dx^j.$

Describiré lo que ya sé sobre el tensor métrico y el elemento de línea a continuación.

Supongamos que tenemos una variedad de Riemann $M$ , entonces podemos definir en cada punto $p\in M$ una métrica Esto da lugar al campo del tensor métrico (por lo que para cada punto $p$ obtenemos un tensor :), entonces $g_p: T_p M\times T_p M\rightarrow \mathcal{R}$ , dónde $\mathcal{R}$ son los números reales. Las coordenadas $\{x^i\}$ son entonces las coordenadas locales en $p$ . A partir de esta noción podemos definir la longitud de un camino $\gamma : [a,b]\rightarrow M$ con la propiedad que $\gamma(t)\in M$ para $t\in[a,b]$ . Podemos definir la longitud de este camino como:

L_{γ} = \int_{a}^{b} \sqrt{\pm {gramo}_{i j} \frac{d X^{i}}{d t} \frac{d X^{j}}{d t}} d t = \int_{a}^{b} \sqrt{\pm {gramo}_{i j} d X^{i} d X^{j}} = \int_{a}^{b} d s .

$L_\gamma = \int^b_a\sqrt{\pm g_{ij}\frac{dx^i}{dt}\frac{dx^j}{dt}}dt = \int^b_a\sqrt{\pm g_{ij}dx^idx^j}=\int^b_ads.$

Donde el $\pm$ asegura que obtengamos una solución real.

De esto vemos que el elemento de línea se puede definir como:

d s^{2} = {gramo}_{i j} d X^{i} d X^{j} .

$ds^2 = g_{ij}dx^idx^j.$

El problema que tengo con esto, es que $L_\gamma \in \mathcal{R}$ es un número real . Ahora parece que no usamos la idea de que $dx^i$ es un vector dual en el espacio cotangente definido en cada punto $p \in M$ , pero que ahora consideramos esos diferenciales como desplazamientos infinitesemales (ya que solo entonces suman una longitud).

No estoy seguro de lo que sucede aquí, también leí otras publicaciones, pero parecen omitir el punto de que los vectores duales $dx^i$ obtener un significado ambiguo. Por ejemplo si consideramos la longitud del arco en coordenadas cartesianas y dejamos $M=\mathcal{R}^2$ , entonces obtenemos la siguiente expresión para la longitud de alguna curva:

L = \int_{a}^{b} \sqrt{d X^{2} + d y^{2}},

$L = \int^b_a \sqrt{dx^2+dy^2},$

pero ¿cómo es consistente esta noción elemental de cálculo con la idea de que $dx^i$ es un vector dual (por lo que $dx^2$ sería en realidad un tensor de rango (0,2))? Ahora parece que todos asumen que la raíz cuadrada del tensor métrico está bien definida y que se evalúa como un escalar. ¿Alguien podría profundizar un poco más en esta idea? La idea de lo que es una longitud y el tensor métrico, etc., es bastante clara para mí.

kyle kanos

@mavzolej, por favor, no enlace a copias ilegales de materiales con derechos de autor.

usuario4552

@KyleKanos: No tenemos forma de saber cuáles son las leyes de derechos de autor donde vive mavzolej. Una expectativa más razonable podría ser que mavzolej anote en el comentario que el enlace es a una copia pirateada del libro. El mercado de libros de texto es tan explotador económicamente que a menudo insisto en mencionarles a mis alumnos que Library Genesis existe.

kyle kanos

@BenCrowell, tengo entendido que no importa dónde vive mavzolej, solo que los servidores a los que todos accedemos están ubicados en los EE. UU., por lo que se deben aplicar tales leyes de infracción de derechos de autor en los EE. UU. Creo que hay muchas publicaciones de Mother Meta al respecto, si está interesado en conocer la posición de SE sobre tal robo.

Respuestas (2)

'Ambigüedad' de vectores duales {dxi}{dxi}\{dx^i\} en espacio cotangente en relatividad general

@mavzolej, por favor, no enlace a copias ilegales de materiales con derechos de autor.
@KyleKanos: No tenemos forma de saber cuáles son las leyes de derechos de autor donde vive mavzolej. Una expectativa más razonable podría ser que mavzolej anote en el comentario que el enlace es a una copia pirateada del libro. El mercado de libros de texto es tan explotador económicamente que a menudo insisto en mencionarles a mis alumnos que Library Genesis existe.
@BenCrowell, tengo entendido que no importa dónde vive mavzolej, solo que los servidores a los que todos accedemos están ubicados en los EE. UU., por lo que se deben aplicar tales leyes de infracción de derechos de autor en los EE. UU. Creo que hay muchas publicaciones de Mother Meta al respecto, si está interesado en conocer la posición de SE sobre tal robo.

qmecanico · Answer 1

Dada una curva $\gamma:I\to M$ , se puede retirar el tensor métrico (definido positivo)

\begin{matrix} (A) & gramo = {gramo}_{i j} d X^{i} ⊙ d X^{i} \in Γ ({S y metro}^{2} (T^{*} METRO)) \end{matrix}

${\bf g}~=~ g_{ij}\mathrm{d}x^i \odot \mathrm{d}x^i~\in~ \Gamma\left( {\rm Sym}^2(T^{\ast}M)\right)\tag{A}$ a

\begin{matrix} (B) & ω ⊙ ω := γ^{*} gramo \in Γ ({S y metro}^{2} (T^{*} I)), \end{matrix}

$\omega\odot\omega~:=~\gamma^{\ast}{\bf g}~\in~ \Gamma\left( {\rm Sym}^2(T^{\ast}I)\right),\tag{B}$ donde la forma 1

ω

$\omega$ es localmente exacto

\begin{matrix} (C) & ω = d s \end{matrix}

$\omega~=~\mathrm{d}s\tag{C}$ debido al lema de Poincaré

d ω = 0

$\mathrm{d}\omega=0$ . Ahora para obtener una función en ambos lados de la ec. (B) insertar un campo vectorial

X \in Γ (T I)

$X\in \Gamma(TI)$ dos veces a ambos lados de la ec. (B). Esto esencialmente reproducirá lo que los físicos quieren decir con la fórmula

\begin{matrix} (D) & d s^{2} = {gramo}_{i j} d X^{i} d X^{j} . \end{matrix}

$ds^2 ~=~g_{ij}dx^idx^j. \tag{D}$

¿Cómo se inserta un campo vectorial en $\Gamma(TI)$ en el lado derecho de (B)?

Valter Moretti · Answer 2

El desajuste con las notaciones

gramo = {gramo}_{i j} d X^{i} \otimes d X^{j}

$g= g_{ij}dx^i\otimes dx^j$ y

d s^{2} = {gramo}_{i j} d X^{i} d X^{j}

$ds^2 = g_{ij}dx^idx^j$ se debe a que, en esta segunda fórmula la

d x^{k}

$dx^k$ s corresponden a componentes "pequeños" de vectores contravariantes

δ X

$\delta X$ (el

d x^{k}

$dx^k$ s son números reales aquí) en lugar de elementos de la base dual (la

d x^{i}

$dx^i$ son vectores covariantes en la vista rigurosa). Reemplazando en la segunda fórmula

d x^{k}

$dx^k$ con una notación menos ambigua

δ x^{k}

$\delta x^k$ ,

d X = d X^{k} \frac{\partial}{\partial X^{k}}

$\delta X = \delta x^k \frac{\partial}{\partial x^k}$ Por lo tanto tenemos la identidad conectando las dos nociones

{gramo}_{i j} d X^{i} d X^{j} = gramo (d X, d X) = d s^{2} .

$g_{ij} \delta x^i \delta x^j = g(\delta X, \delta X) = \delta s^2\:.$ Esta interpretación también está de acuerdo con la integral que define la longitud de una curva siempre que escribamos

\dot{γ} d t = δ x^{i} \frac{\partial}{\partial x^{i}}

$\dot{\gamma} dt = \delta x^i \frac{\partial}{\partial x^i}$ , de modo que la fórmula para calcular la longitud de una curva se convierte en

L_{γ} = \int_{a}^{b} \sqrt{| gramo (\dot{γ}, \dot{γ}) |} d t = \int \sqrt{| {gramo}_{i j} d X^{i} d X^{j} |} .

$L_\gamma = \int_a^b \sqrt{|g(\dot{\gamma},\dot{\gamma})|} dt = \int \sqrt{|g_{ij}\delta x^i\delta x^j|}\:.$ El caso es que los objetos

δ x^{k}

$\delta x^k$ no existen como "números infinitesimales" (a menos que se aproveche el análisis no estándar) mientras que los objetos

d x^{i}

$dx^i$ existen como vectores en un espacio vectorial adecuado y, por lo tanto, esta notación es más rigurosa desde el punto de vista matemático.

¿Por qué las dos ideas funcionan de acuerdo? La razón es que infinitesimal se reemplaza, en la visión moderna, con aproximación lineal (expansión de Taylor de primer orden que ignora los infinitesimales de orden superior) y los vectores son estructuras lineales que incorporan la información de estas aproximaciones lineales.

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maestro de matemáticas

kyle kanos

usuario4552

kyle kanos

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qmecanico

Kcronix

Valter Moretti

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