¿Se pueden sumar linealmente las raíces del intervalo de espacio-tiempo?

La forma de raíz cuadrada para$\Delta s$en términos de$v$es correcto para intervalos infinitesimales, y realmente deberías integrarlo para encontrar un intervalo de espacio-tiempo finito:

Por supuesto, si tu trayectoria tiene una velocidad constante, la integral se simplifica y parece que estás sumando las dos raíces cuadradas.

Para intervalos temporales (los intervalos que puede viajar una partícula),

$d\tau^2 = g_{\alpha \beta} dx^{\alpha}dx^{\beta}$

Por eso,$d\tau = \sqrt{g_{\alpha \beta} dx^{\alpha}dx^{\beta}}$

Así, el intervalo total$\tau_{13} = \int_1^3 \sqrt{g_{\alpha \beta} dx^{\alpha}dx^{\beta}}$

Por lo tanto,

$\tau_{13} = \int_1^2 \sqrt{g_{\alpha \beta} dx^{\alpha}dx^{\beta}} + \int_2^3 \sqrt{g_{\alpha \beta} dx^{\alpha}dx^{\beta}} = \tau_{12} + \tau_{23}$. Siempre.

La cuestión es$\tau_{13}^2 \neq \tau_{12}^2+\tau_{23}^2$.

Porque,$d\tau^2 = {g_{\alpha \beta} dx^{\alpha}dx^{\beta}} = g_{\alpha\beta}U^{\alpha}U^{\beta} d\lambda^2$

($\lambda$es el parámetro afín utilizado para paramatrizar la curva (trayectoria) a lo largo de la cual viaja la partícula y$U^{\mu} := \dfrac{dx^{\mu}}{d\lambda}$)

Entonces, para integrar, primero sacamos la raíz cuadrada y luego solo realizamos la integración. No tiene sentido decir directamente$\int_1^3 d\tau^2$.

Entonces,$\tau_{13}^2 = \big(\int_1^3 \sqrt{g_{\alpha \beta} dx^{\alpha}dx^{\beta}}\big)^2$ NO eso$\tau_{13} = \sqrt{\int_1^3 {g_{\alpha \beta} dx^{\alpha}dx^{\beta}}}$.

Versión 'Matemáticas Reducidas': Tu intuición es correcta.$\tau_{13} = \tau_{12} + \tau_{23}$. La razón es simplemente que primero tomamos la raíz cuadrada de$d\tau^2$y luego integrar, no al revés. De este modo,$\tau_{13}^2 \neq \tau_{12}^2+\tau_{23}^2$pero$\tau_{13} = \tau_{12} + \tau_{23}$.