¿Cómo definir dimensiones *dinámicas*?

Estoy considerando un modelo de juguete simple. El espacio-tiempo es plano con$d$dimensiones del espacio. Usando coordenadas cartesianas, la métrica del espacio-tiempo es minkowskiana:

$$\tag{1} ds^2 = dt^2 - dx_1^2 - dx_2^2 - dx_3^2 - \ldots - dx_d^2.$$ Un campo escalar sin masa $\Phi$se está propagando en ese espacio-tiempo de acuerdo con la siguiente PDE: $$\tag{2} \frac{\partial^2 \Phi}{\partial \, t^2} - \frac{\partial^2 \Phi}{\partial \, x_1^2} - \frac{\partial^2 \Phi}{\partial \, x_2^2} - \frac{\partial^2 \Phi}{\partial \, x_3^2} - \ldots - \frac{\partial^2 \Phi}{\partial \, x_d^2} = 0.$$ Por supuesto, $d \ge 1$es cualquier número entero . Pero, ¿y si se convierte en una variable dinámica, dependiente del valor de $\Phi$? No estoy considerando una extensión a valores reales; $d$seguiría siendo un número entero, pero eso podría variar de un lugar a otro en el espacio-tiempo: $d = 1$en algún parche del espacio-tiempo mientras $d = 2$o $d = 3$en otras partes del espacio-tiempo. La coincidencia de los límites de los parches podría hacerse un poco como una cadena sin grosor ( $d = 1$) adquiriendo un espesor suave (superficie cilíndrica; $d = 2$), luego obteniendo un bulto ( $d = 3$), etc., pero no estoy seguro de que esto tenga algún sentido.

¿Cómo podríamos dar sentido a esta idea de una dimensión dinámica del espacio-tiempo y definir la dinámica de$d$ahora considerado como una especie de nuevo campo escalar? (¿restringido en números enteros?).

Al presentar algunos factores de escala variable, estaba pensando en una métrica infinita como esta:

$$\tag{3} ds^2 = dt^2 - a_1^2(t, x)\, dx_1^2 - a_2^2(t, x)\, dx_2^2 - a_3^2(t, x)\, dx_3^2 - a_4^2(t, x)\, dx_4^2 - \ldots,$$ dónde $a_i(t, x)$son nuevas variables dinámicas y $i = 1, 2, 3, \dots, \infty$. En un espacio unidimensional ( $d = 1$), $a_i = 0$para todos $i = 2, 3, \dots, \infty$. Si el espacio es bidimensional ( $d = 2$), entonces $a_i = 0$para todos $i = 3, 4, \dots, \infty$, etc.

Estoy "visualizando" estas dimensiones dinámicas como una infinidad de bucles cerrados;$0 \le x_i < 2 \pi \ell$, todo fluctuando a pequeña escala ($a_i$aleatoriamente pulsante y oscilante, tal que$a_i \approx 0$para la mayoría$i > 1$), luego explota repentinamente si el campo escalar$\Phi$obtiene un alto valor especial, a nivel local o global. Cuando el espacio-tiempo está obteniendo (o perdiendo) alguna dimensión espacial local nueva (antigua), definiría una transición de fase dimensional .

¿Cómo podríamos obtener las ecuaciones de Einstein (o FLRW) para una métrica tan infinita como la (3) anterior, especialmente si$a_i$depende de$t$¿solo? ¿Esta idea ya fue considerada antes?