¿Cómo deberíamos pensar en los contratérminos locales en el contexto de las anomalías?

Mis pensamientos sobre los contratérminos son los siguientes, no puedo decir con certeza que sean absolutamente correctos. Me gustaría ser corregido si algo no está bien.

Mi respuesta corta: es mejor pensar en los contratérminos como parte de la definición de la medida, no como la acción clásica. y en respuesta a la pregunta:

Entonces, una teoría no anómala tendría necesariamente una medida de calibre invariante. ¿Estoy aquí?

Yo diría que sí. Pero me gustaría enfatizar que para una simetría no anómala, aunque debe haber una medida invariante, también puede haber algunas medidas que no sean invariantes. Diferentes opciones de medidas corresponden a diferentes opciones de reguladores.

Pensamientos largos: Primero, me gustaría hacer una distinción: los contratérminos que se pueden agregar a la acción efectiva dependen, como la acción efectiva misma, de los campos de fondo, por otro lado, los contratérminos que se agregan a la acción clásica relacionados con la diferencia entre los parámetros desnudos y renormalizados dependen de los campos dinámicos. Hasta ahora, estos dos no son exactamente lo mismo, aunque agregar términos a la acción clásica y luego hacer la integración de caminos seguramente afecta la acción efectiva; pero no creo que sean responsables de la "ambigüedad del contratérmino", por las siguientes razones.

Cualquier teoría de campo que no sea asintóticamente libre es esencialmente efectiva, en otras palabras, solo se definen para calcular funciones de correlación de puntos separados. Por lo tanto, sus funciones de partición se definen solo hasta modificaciones que no afectan las funciones de correlación de puntos separados. Estas modificaciones son precisamente las adiciones de funciones locales dependientes del fondo al registro de las funciones de partición. Esquemáticamente, si una teoría tiene campo de fondo$J$entonces el registro de su función de partición se puede escribir como una función generadora de funciones de correlación conectadas de operadores (para las cuales el fondo actúa como fuente):

$$\log Z[J] = \log \int \mathcal{D}\phi\, e^{i S[\phi,J]} = \sum_{n=0}^\infty \int_M \prod_{i=1}^n \left(\mathrm{d}^dx_i\right) \left\langle \prod_{i=1}^n \left(\phi(x_i)\right) \right\rangle \prod_{i=1}^nJ(x_i)\,, \tag{*}$$ dónde $M$es el espacio-tiempo. Ahora, modificación de $\log Z$de la forma: $$\log Z[J] \to \log Z[J] + \int_M \mathrm{d}^d x\, f(J(x)) \,,$$ para función local arbitraria $f$no afecta ninguna de las funciones de correlación de puntos separados, por lo que estas modificaciones deberían permitirse en la teoría efectiva, y esta es la ambigüedad del contratérmino que mencionó. Por otro lado, los contratérminos que a menudo aparecen en los libros de texto de QFT relacionados con la diferencia entre los parámetros simples y los renormalizados afectan las funciones de correlación de puntos separados y no son arbitrarios, tenemos que arreglar sus partes finitas imponiendo algunas condiciones de renormalización. Estas condiciones de renormalización son físicas, se fijan imponiendo restricciones de que alguna amplitud de dispersión debe tomar ciertos valores y/o alguna excitación debe tener cierta masa, etc. No parece que estos números deban ser arbitrarios. $\log Z$parece divergir y tenemos que volver a normalizarlos. Pero la parte no local (que involucra múltiples integrales de espacio-tiempo) de la expansión de la serie afecta la teoría de baja energía y se fija a partir de restricciones/observaciones físicas. Sin embargo, la parte local se deja arbitraria/ambigua. Diferentes opciones de contratérminos locales corresponden a diferentes reguladores.

Ahora, puede haber algún grupo de simetría clásica$G$que actúa sobre los campos incluyendo el fondo:

$$S[g \cdot \phi, g^{-1} \cdot J] = S[\phi,J]\,, \quad \forall g \in G,.$$ Esta simetría se preservaría después de la cuantificación si: $$\log Z[g^{-1} \cdot J] = \log Z[J]\, \quad \mbox{or infinitesimally,} \quad \delta_\xi \log Z[J] = 0\,,$$ dónde $\xi \in \mathrm{Lie}(G)$. Si sucede que la variación de $\log Z$no es cero sino igual a la variación de un funcional local, $\delta_\xi \log Z[J] = \delta_\xi C[J]$, entonces la elección del regulador $\log Z \to \log Z + C$conserva la simetría. En otras palabras, la medida $\mathcal{D}\phi e^{C[J]}$es $G$-invariante. Parece que no todos los reguladores tienen que preservar la misma cantidad de simetría. No sé si hay una razón para elegir un regulador que conserve la máxima cantidad de simetría en algún sentido. Excepto en los casos en que queramos medir una simetría, en cuyo caso debemos encontrar un regulador que conserve la simetría.