Anomalías y divergencias de corta distancia...

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Anomalías y divergencias de corta distancia...

Física
operadores
regularización
anomalías cuánticas
teoría cuántica de campos

AccidentalFourierTransformar

Dejar $J$ ser una cierta corriente de Noether

j = j [ϕ]

$J=J[\phi]$ dónde

ϕ

$\phi$ es un campo Este objeto se conserva clásicamente, aunque en el caso de la mecánica cuántica puede ser anómalo.

En el formalismo integral funcional, la falla de $J$ a conservar se asocia a un jacobiano no trivial ¹ . Uno suele encontrar

⟨ \partial \cdot j ⟩ = ⟨ A [ϕ] ⟩

$\langle \partial\cdot J\rangle=\langle A[\phi]\rangle$ dónde

⟨ \cdot ⟩

$\langle\,\cdot\,\rangle$ denota un valor esperado, y

A [ϕ]

$A[\phi]$ es la función de anomalía (la traza del logaritmo del jacobiano de la transformación).

En el formalismo del operador, la anomalía se cumple como una ecuación de operador,

\partial \cdot \hat{j} = A [\hat{ϕ}]

$\partial\cdot \hat J=A[\hat \phi]$ dónde

\hat{J} = J [\hat{ϕ}]

$\hat J=J[\hat\phi]$ .

La no conservación de $\hat J$ suele atribuirse a su singularidad ² . De hecho, al ser un operador no lineal, los puntos espacio-temporales coincidentes en su definición conducen a un $0\times\infty$ indeterminado, y se debe introducir un regulador. Cuando se quita el regulador, generalmente se encuentra una contribución finita distinta de cero, que identificamos con $A[\hat\phi]$ .

Hay una paradoja aquí, porque $A[\hat\phi]$ suele ser no lineal en los campos también y, por lo tanto, también incluye puntos de espacio-tiempo coincidentes. En otras palabras, incluso si $\partial\cdot \hat J$ se ha construido utilizando un regulador explícito y tomando el límite con cuidado, se mantiene una divergencia. Tomemos como ejemplo la anomalía quiral, donde $A\propto \hat F\wedge \hat F\cdots \wedge \hat F$ . Aquí, $\hat F$ es un operador singular, por lo que la anomalía $A$ está mal definido. Aún, $\partial\cdot\hat J$ supuestamente era finito.

¿Que está pasando aqui? ¿Cómo se resuelve esta paradoja? ¿Cómo podemos dar sentido a las singularidades en la función de anomalía, cuando este objeto fue construido precisamente al recopilar las singularidades en $\hat J$ e identificar la contribución finita a medida que se elimina el regulador?

^{1: Véase, por ejemplo, QFT de Weinberg, Vol.II, §22.2. Ver también Peskin & Shroeder, §19.1 (en particular, la discusión sobre la ecuación 19.61 en la página 664).}

^{2: Véase, por ejemplo, Peskin & Shroeder, §19.1 (en particular, la discusión sobre la ecuación 19.22 en la página 655). Ver también Itzykson & Zuber, §11-5-3 (en particular, la discusión sobre la ecuación 11-229 en la página 559).}

DosBs

Solo un comentario menor: en el ejemplo de anomalía quiral, los campos de calibre no necesitan ser campos de propagación; pueden ser (y se usan prácticamente como) campos externos de números c. Desde la perspectiva de la integral de trayectoria, básicamente no hay problema, ya que la integración sobre la órbita de calibre se puede realizar después de la integración sobre los fermiones que solo ven un campo externo.

usuario178876

¿No estás mezclando dos cosas? Sí, la medida integral de trayectoria puede tomar una fase no trivial bajo una transformación "anómala". Hasta ahora, todo bien. Pero la discusión de la singularidad no es transparente para mí. De acuerdo con su discusión, cualquier producto local de operadores de campo es singular. O porque dices eso

A

$A$ esta mal definido?

AccidentalFourierTransformar

@TwoBs seguro, desde el punto de vista integral de la ruta no hay problema en tratar los campos de calibre como números c externos e integrar primero sobre los campos fermiónicos. Pero desde el punto de vista del operador, los campos de calibre pueden contener tanto una contribución de número c externa como una contribución de número q interna (p. ej., en QCD, donde la anomalía quiral está asociada a la

θ

$\theta$ término; aquí los dos

ψ

$\psi$ y

A^{μ}

$A^\mu$ son operadores cuánticos). En este sentido, los campos de norma pueden ser campos de propagación, en cuyo caso surge la paradoja. Esta es precisamente la situación que me interesa aquí.

AccidentalFourierTransformar

@marmot Incluí algunas referencias. " cualquier producto local de operadores de campo es singular ": de hecho, los productos locales de operadores de campo son siempre singulares. Piense en los OPE (o el hecho de que los propagadores son singulares en

x = y

$x=y$ ).

DosBs

@AccidentalFourierTransform Sospecho que su pregunta es básicamente por qué la anomalía es local (tanto

F_{μ ν}

$F_{\mu\nu}$ en el mismo punto) y sin embargo finito. Una forma de ver que eso es realmente finito es pensar en el otro lado de la anomalía, el IR. No se ejecutan y tienen el mismo valor en todas las escalas, incluido el IR profundo, es decir, a grandes distancias (de donde proviene la coincidencia de la anomalía de t'Hooft) donde no se espera divergencia.

AccidentalFourierTransformar

@TwoBs Eso en realidad tiene mucho sentido. Tendré que pensar más al respecto, ¡pero muchas gracias!

usuario178876

Lamento repetir, pero realmente siento que estás confundiendo las cosas. ¿Estás hablando de operadores o correladores? el problema es que

⟨ \partial_{μ} {\hat{J}}^{μ} ⟩

$\langle \partial_\mu \hat J^\mu\rangle$ no desaparece aunque

J^{μ}

$J^\mu$ es una corriente de Noether (clásicamente conservada). Pero si quiere decir que la discusión de anomalías basada en operadores es un poco turbia en algunos libros, estoy de acuerdo.

Respuestas (1)

Anomalías y divergencias de corta distancia...

Solo un comentario menor: en el ejemplo de anomalía quiral, los campos de calibre no necesitan ser campos de propagación; pueden ser (y se usan prácticamente como) campos externos de números c. Desde la perspectiva de la integral de trayectoria, básicamente no hay problema, ya que la integración sobre la órbita de calibre se puede realizar después de la integración sobre los fermiones que solo ven un campo externo.
¿No estás mezclando dos cosas? Sí, la medida integral de trayectoria puede tomar una fase no trivial bajo una transformación "anómala". Hasta ahora, todo bien. Pero la discusión de la singularidad no es transparente para mí. De acuerdo con su discusión, cualquier producto local de operadores de campo es singular. O porque dices eso $A$ esta mal definido?
@TwoBs seguro, desde el punto de vista integral de la ruta no hay problema en tratar los campos de calibre como números c externos e integrar primero sobre los campos fermiónicos. Pero desde el punto de vista del operador, los campos de calibre pueden contener tanto una contribución de número c externa como una contribución de número q interna (p. ej., en QCD, donde la anomalía quiral está asociada a la $\theta$ término; aquí los dos $\psi$ y $A^\mu$ son operadores cuánticos). En este sentido, los campos de norma pueden ser campos de propagación, en cuyo caso surge la paradoja. Esta es precisamente la situación que me interesa aquí.
@marmot Incluí algunas referencias. " cualquier producto local de operadores de campo es singular ": de hecho, los productos locales de operadores de campo son siempre singulares. Piense en los OPE (o el hecho de que los propagadores son singulares en $x=y$ ).
@AccidentalFourierTransform Sospecho que su pregunta es básicamente por qué la anomalía es local (tanto $F_{\mu\nu}$ en el mismo punto) y sin embargo finito. Una forma de ver que eso es realmente finito es pensar en el otro lado de la anomalía, el IR. No se ejecutan y tienen el mismo valor en todas las escalas, incluido el IR profundo, es decir, a grandes distancias (de donde proviene la coincidencia de la anomalía de t'Hooft) donde no se espera divergencia.
@TwoBs Eso en realidad tiene mucho sentido. Tendré que pensar más al respecto, ¡pero muchas gracias!
Lamento repetir, pero realmente siento que estás confundiendo las cosas. ¿Estás hablando de operadores o correladores? el problema es que $\langle \partial_\mu \hat J^\mu\rangle$ no desaparece aunque $J^\mu$ es una corriente de Noether (clásicamente conservada). Pero si quiere decir que la discusión de anomalías basada en operadores es un poco turbia en algunos libros, estoy de acuerdo.

David Bar Moshé · Answer 1

Aunque los términos de contacto pueden surgir cuando se multiplican los operadores locales, pero en el caso del término anomalía no lo hacen. Cualitativamente, la razón de esto es que los términos de contacto son sensibles al límite de corta distancia y dependen del esquema de regularización.

Las anomalías, por otro lado, sobreviven al límite infrarrojo cuando los términos de contacto pierden importancia y son independientes del esquema de regularización. Más cuantitativamente, las anomalías se pueden atribuir a contratérminos no locales del tipo:

\int d^{4} X \frac{\partial_{m} A^{m}}{◻} F_{α β} F^{α β}

$\int d^4x \frac{\partial_{\mu} A^{\mu}}{\Box} F_{\alpha \beta}F^{\alpha \beta}$ (Este término no es local, pero su variación de calibre es local y genera la anomalía correcta en la divergencia actual). El laplaciano inverso suprime la dependencia ultravioleta.

+1 Gracias. La imagen se está aclarando para mí. Pensaré un poco más e informaré más tarde.

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usuario178876

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David Bar Moshé

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