Anomalías clásicas y cuánticas

Hoy en día existe una interpretación geométrica más fundamental de las anomalías que creo que puede resolver algunas de sus preguntas. La fuente básica de anomalías es que clásica y mecánicamente cuánticamente estamos trabajando con realizaciones y representaciones del grupo de simetría, es decir, dado un grupo de simetrías a través de una realización estándar en algún espacio, necesitamos elevar la acción a los objetos geométricos adecuados que buscamos. trabajar con la teoría clásica y cuántica y, a veces, esta acción no se puede levantar. Matemáticamente, esto se denomina obstrucción a la acción de levantamiento, que es el origen de las anomalías. Las obstrucciones a menudo conducen a la posibilidad de la realización no del grupo de simetrías en sí, sino de alguna extensión del mismo por parte de otro grupo que actúa naturalmente sobre los objetos geométricos que definen la teoría.

Hay tres niveles de realización de un grupo de simetrías:

El nivel abstracto: por ejemplo la acción del grupo de Lorentz (galileano) sobre un espacio de Minkowski (euclediano). Esta representación, por ejemplo, no es unitaria, y no es la representación con la que trabajamos en mecánica cuántica.

El nivel clásico: Cuando la acción del grupo se realiza en términos de funciones pertenecientes al álgebra de Poisson de algún espacio de fase. Por ejemplo, la realización de los grupos galileanos o de Lorentz en el espacio de fase de una partícula libre clásica.

El nivel cuántico cuando la acción del grupo se realiza en términos de representaciones lineales de operadores en algún espacio de Hilbert (o simplemente operadores pertenecientes a algún$C^*$álgebra. Por ejemplo, la realización de los grupos galileanos o de Lorentz en un espacio cuántico de Hilbert de una partícula libre.

Ahora bien, pasar del nivel abstracto al clásico o al cuántico puede ir acompañado de una obstrucción. Estas obstrucciones existen ya en la mecánica cuántica y clásica con un número finito de grados de libertad, y no solo en las teorías cuánticas de campos. Dos ejemplos muy conocidos son el grupo de Galileo que no se puede realizar sobre el álgebra de Poisson del espacio de fase de la partícula libre, sino una extensión central de la cual con una relación de conmutación modificada:

$$[K_i, P_j] =-i \delta_{ij}m$$

, se realiza. ($K_i$son impulsos y$P_i$son traducciones$m$es la masa). Esta extensión fue descubierta por Bargmann y, a veces, se le llama grupo de Bargmann. Un segundo ejemplo es la realización de sistemas de espín en términos de secciones de haces de líneas homogéneas sobre las dos esferas.$S^2$. Ahora, la acción del grupo de isometría$SO(3)$no se puede elevar a paquetes de líneas correspondientes a giros de medio entero, sino a un$\mathbb{Z}_2$cuya extensión, a saber$SU(2)$se puede levantar En este caso el grupo extendido es semisimple y el tema que$SU(2)$ser una extensión del grupo de$SO(3)$y no solo una cobertura universal no suele enfatizarse en los textos de física.

Las ampliaciones de grupo realizadas como consecuencia de estas obstrucciones pueden requerir:

1) Representaciones de rayos del grupo original que son verdaderas representaciones del grupo extendido. Este es el caso de$SO(3)$, donde los giros semienteros se pueden realizar a través de representaciones de rayos de SO (3), que son representaciones verdaderas de$SU(2)$. En esto las álgebras de Lie de ambos grupos son isomorfas.

2) Extensiones de grupo correspondientes extensiones de álgebra de Lie. Este es el caso más general correspondiente por ejemplo al caso de Galileo.

Ahora, en el nivel cuántico, uno puede entender más fácilmente por qué las obstrucciones conducen a extensiones de grupo. Esto se debe a que estamos buscando representaciones que satisfagan dos condiciones adicionales:

1) Unitaridad

2) Energía positiva

A veces (hasta$1+1$dimensiones), podemos satisfacer estas condiciones simplemente por ordenación normal, lo que resulta en extensiones centrales de los grupos de simetría. Este método se aplica al caso de las álgebras de Virasoro y Kac-Moody, que son extensiones centrales de las álgebras de Witt y de bucles, respectivamente, y se pueden obtener en el nivel cuántico después de un ordenamiento normal.

La relación entre el ordenamiento normal y las anomalías se puede explicar porque los operadores de cuantificación deben ser operadores Toeplitz . Un ejemplo muy conocido es la realización del oscilador armónico en el espacio de funciones analíticas de Bargmann , entonces los operadores de Toeplitz son exactamente aquellos operadores donde todas las derivadas se mueven hacia la derecha. Esto se llama cuantización Wick y corresponde exactamente al orden normal en la representación algebraica. La principal propiedad de los operadores Toeplitz es que su composición se realiza a través de productos estrella, y los productos estrella de los operadores de Toeplitz también son operadores de Toeplitz, por lo que el álgebra de los operadores cuánticos está cerrada, pero no está cerrada al grupo original sino a una extensión central de la cual. Esta importante interpretación aún no se ha extendido a las teorías de campo.

Vale la pena mencionar que las extensiones centrales no son las extensiones más generales que se pueden obtener cuando se realiza una simetría en términos de operadores en teoría cuántica, existen extensiones abelianas e incluso no abelianas. Una de las extensiones más conocidas de este tipo es la extensión de Mickelsson-Faddeev del álgebra de densidades de carga no abelianas de fermiones quirales cuando se acopla a un campo Yang-Mills externo en$3+1$dimensiones:

$$[T_{a}(x), T_{b}(y)] = if_{ab}^c T_c(x) \delta^{(3)}x-y) +id_{ab}^c\epsilon_{ijk} \partial_i\delta^{(3)}(x-y) \partial_j A_{ck}$$

Esta extensión es una extensión no central abeliana.

La explicación de la existencia de "anomalías" en el caso clásico, es decir, en el álgebra de Poisson, puede entenderse ya en el caso de la variedad simpléctica más simple.$\mathbb{R}^2$, el álgebra de Poisson no es isomorfa al álgebra de traslaciones. Un análisis más profundo por ejemplo dado en: Marsden y Ratiu página 408 para el caso del grupo de Galileo. Demostraron que en el espacio de Hilbert de partículas libres, el grupo de Galileo se eleva a una extensión central (el grupo de Bargmann) que actúa unitariamente en el espacio de Hilbert de partículas libres:$\mathcal{H} = L^2(\mathbb{R}^3)$. Ahora, el espacio proyectivo de Hilbert$\mathcal{PH}$es una variedad simpléctica (como cualquier espacio proyectivo complejo) en la que está incrustado el espacio de fase de la partícula. La restricción de la representación al espacio proyectivo de Hilbert y luego al espacio de fase de la partícula conserva la extensión central, es decir, es isomorfa al grupo extendido, por lo que el grupo extendido actúa sobre el álgebra de Poisson.

De hecho, siempre se debe esperar que la anomalía se realice de forma clásica en el espacio de fases. El caso de las anomalías quirales fermiónicas parece singular, porque se acostumbra decir que la anomalía existe sólo a nivel cuántico. La razón es que el espacio de variables de Grassmann no es realmente un espacio de fase, e incluso en el caso de los fermiones, la anomalía existe en el nivel clásico cuando uno los representa en términos de "coordenadas bosónicas". Estas anomalías se dan como términos de Wess-Zumino-Witten. (Por supuesto, estas representaciones no son útiles en la teoría de la perturbación).

Otro razonamiento por el que siempre existen anomalías en el nivel clásico (espacio de fase) es que en la cuantización geométrica, las anomalías se pueden obtener en el nivel de precuantificación. Ahora, la cuantificación previa no requiere más datos que el espacio de fase (no como la cuantificación misma que requiere una polarización).

Ahora, tratando de responder a sus preguntas específicas. Es cierto que las anomalías quirales se descubrieron en las teorías cuánticas de campos cuando no se pudieron encontrar reguladores ultravioleta que respetaran la simetría quiral. Pero la anomalía es en realidad una propiedad infrarroja de la teoría. Los signos de eso son el teorema de Adler-Bardeen de que no está presente una corrección de bucle superior (que uno) a la anomalía axial y, lo que es más importante, solo las partículas sin masa contribuyen a la anomalía. En el enfoque de operador que traté de adoptar en esta respuesta, la anomalía es consecuencia de una deformación que debe realizarse en los generadores de simetría para estar bien definidos en el espacio físico de Hilbert y no una consecuencia directa de la regularización.

En segundo lugar, la anomalía existe por igual en ambos niveles, cuántico y clásico (en el espacio de fase). El caso de los fermiones y la regularización se abordó por separado.

Actualización - Elaboración del caso de giro:

Aquí está la elaboración de la$SO(3)$,$SU(2)$caso que contiene todos los ingredientes relacionados con la obstrucción al levantamiento y extensiones de grupo, excepto que no tiene una extensión de álgebra de Lie correspondiente.

trabajamos en$S^2$usando la coordenada de proyección estereográfica dada en términos de las coordenadas polares por:

$$z = \tan \frac{\theta}{2} e^{i \phi}$$

Un elemento del grupo.$SU(2)$

$$g=\begin{pmatrix} \alpha& \beta\\ -\bar{\beta} & \bar{\alpha } \end{pmatrix}$$

actúa sobre$S^2$según la transformación de Möbius:

$$z \rightarrow z^g = \frac{\alpha z + \beta}{-\bar{\beta} z + \bar{\alpha } }$$

Sin embargo, se observa que la acción del elemento especial:

$$g_0=\begin{pmatrix} -1& 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

es idéntica a la acción de la identidad. Este elemento es un elemento SU(2) que se proyecta a la unidad de SO(3) (Esto se puede ver en su representación tridimensional que es la matriz unitaria). Así, el grupo que actúa de manera no trivial sobre$S^2$es$SO(3)$

Ahora los sistemas de espín de la mecánica cuántica se pueden realizar en la esfera en los espacios de funciones analíticas de Hilbert:

$$(\psi, \xi) = \int_{S^2} \overline{\xi(z)} \psi(z) \frac{dzd\bar{z}}{(1+\bar{z}z)^2}$$

transformándose bajo$SU(2)$de acuerdo a:

$$\psi(z) \rightarrow \psi^g(z) = (-\bar{\beta} z + \bar{\alpha })^{2j} \psi(z^{g^{-1}})$$

Esta es una representación de rayos de$SO(3)$como$SO(3)$no tiene representaciones semienteras.

Ahora, la primera observación (el nivel cuántico) es que el elemento especial no actúa sobre las funciones de onda como el operador unitario, para espines semienteros agrega una fase de$\pi$. Esto es lo que quiere decir que el$SO(3)$la acción no puede elevarse al espacio cuántico de Hilbert.

Ahora volviendo al nivel clásico. La forma simpléctica en$S^2$es proporcional a su elemento de área. La constante de proporcionalidad tiene que ser un número entero en una teoría precuantizable (condición de cuantización de Dirac)

$$\omega = 2j \frac{dz \wedge d\bar{z}}{(1+\bar{z}z)^2}$$

El corchete de Poisson correspondiente entre dos funciones en la esfera:

$$\{f, h\} =\frac{1}{2j} (1+\bar{z}z)(\partial_z f \partial_{\bar{z}} h - \partial_z h \partial_{\bar{z}} f)$$

La función que genera la acción de grupo en el álgebra de Poisson viene dada por:

$$f_g= \left(\frac{\alpha \bar{z}z + \beta \bar{z} - \bar{\beta}z + \bar{\alpha}}{1+\bar{z}z}\right)^{2j}$$

Ahora, la función que representa la unidad de SU(2) en la función$f=1$, mientras que la función que representa el elemento especial es$f=-1$para espines semienteros, que es una función diferente (tiene que ser una constante porque pertenece al centro de$SU(2)$, por lo que tiene que conmutar a Poisson con todas las funciones.

Así, incluso en el nivel clásico, la acción de$SO(3)$no eleva al álgebra de Poisson.

Ahora bien, con respecto a la cuestión de distinguir clásicamente$SU(2)$de$SO(3)$. Si calcula la función de partición clásica de un giro$\frac{1}{2}$gas interactuando con un campo magnético, será diferente a decir spin$1$, pero gira$\frac{1}{2}$existe en primer lugar sólo si$SU(2)$actúa porque$SO(3)$solo permite giros enteros.