Anomalías quirales a la Fujikawa: ¿Por qué no tomamos otra medida?

Al derivar la anomalía quiral en el enfoque no perturbativo para una teoría de fermiones de Dirac sin masa, se comienza demostrando que la medida de la integral de trayectoria no es invariante bajo la transformación quiral:

ψ → tu ( X ) ψ = mi i α ( X ) γ 5 ψ ψ ¯ → ψ ¯ tu ¯ ( X ) = ψ ¯ γ 0 mi − i α ( X ) γ 5 γ 0 = ψ ¯ tu ( X )

y la medida se transforma como:

d ψ ¯ d ψ → det [ tu tu ¯ ] − 1 d ψ ¯ d ψ = det [ tu ] − 2 d ψ ¯ d ψ

Luego procede con la evaluación del determinante para encontrar el término de anomalía. (Así se hace por ejemplo en Weinberg cap. 22.2)

Pero ahora imagina que escribimos el dirac lagrangiano de masas en sus componentes quirales ψ L y ψ R :

L = ψ ¯ i γ m D m ψ = i ψ L † σ ¯ m D m ψ L + i ψ R † σ m D m ψ R

Este es ahora un Lagrangiano de dos espinores de Weyl independientes, uno a la izquierda y otro a la derecha. La transformación quiral de arriba ahora dice

ψ L → mi − α ( X ) ψ L , ψ L † → mi α ( X ) ψ L † ψ R → mi α ( X ) ψ R , ψ R † → mi − α ( X ) ψ R †

Escribimos la medida de la integral de trayectoria ahora como d ψ L † d ψ L d ψ R † d ψ R que es lorentz y gauge invariante.

¡Pero es invariante bajo la transformación quiral! Entonces, ¿qué pasó? ¿A dónde se fue nuestra Anomalía?

Al reescribir la medida d ψ ¯ d ψ como dos medidas de Weyl presentó la γ 0 se eliminó, que antes era responsable de cambiar el signo en el exponente de la transformación una vez más e hizo que la medida no fuera invariante. Pero no veo nada malo en reescribir la medida de esta manera. Incluso para el caso masivo, este debería ser un procedimiento legible, ¿o me equivoco?

Probablemente alguien pueda darme una lección sobre la construcción de medidas para los espinores de Weyl o decirme qué está pasando aquí. ¡Salud!

Lo siento, pero su argumento es un clásico ingenuo y también podría hacer el mismo argumento en el formalismo de Dirac-spinor. Sería igualmente incorrecto. También puede reescribir la discusión de Weinberg sobre las anomalías en el formalismo de 2 componentes de Weyl-spinor. Consulte, por ejemplo, la sección 6.25 en la página 111 de Howard Haber aquí: scipp.ucsc.edu/~haber/susybook/feyn115.pdf No γ 5 aparece explícitamente pero todas las anomalías del triángulo, etc. todavía están allí.
Gracias por la respuesta y la referencia. En la sección que está dando, la anomalía se deriva para los campos de Wely pero de forma esquemática. No estoy cuestionando estos resultados, me pregunto si en el método de Fujikawa al derivar las anomalías a través de un PI, el razonamiento no funciona si solo elijo otra medida que me parece igualmente válida. Entonces, ¿cuál sería la forma "mecánica cuántica no ingenua" de argumentar qué medida elegir para el PI?
La respuesta a su comentario anterior es la invariancia de calibre, pero está malinterpretando la fuente de la variación quiral. Tanto lo tuyo como lo de Weinberg son trivialmente invariantes quiralmente, el problema es que ninguno de ellos está debidamente regulado. La discusión de Weinberg sobre el regulador puede ser confusa para un recién llegado: da muchos pasos formales y comienza en el espacio de Minkowski. La forma de entenderlo es pensar en definir una medida de fermión de corte invariante de calibre finito y luego observar la variación de calibre de esto. Esto es lo que está haciendo Fujikawa.
Lamento la demora en la respuesta, pero me confundí con algo estúpido, que en realidad es solo tangencial: ¿qué sucede si realiza una discretización de derivada directa de la formulación de 2 componentes? Entonces no te duplicas superficialmente. Pero luego te quedas sin sentido porque la cosa no es unitaria. Necesitas escalonar a los fermiones de alguna manera.

Respuestas (1)

La presentación de Weinberg no es ideal desde el punto de vista pedagógico, porque los pasos son demasiado formales y pone énfasis en los que pueden confundir a un estudiante. La presentación podría llevarlo a pensar que el determinante de los factores U de alguna manera no es igual a 1 ingenuamente debido a alguna fase del negocio, y esto categóricamente no es cierto. Esto es lo que lo confunde: la descripción de dos componentes pone de manifiesto que no hay nada con un determinante que no sea unitario, y la formulación de cuatro componentes lo oculta.

La parte donde Weinberg habla de que U es pseudounitario es lo engañoso, pseudounitario o unitario, el determinante U es igual a 1, y la introducción formal de una función delta no hace que el determinante sea menos 1. La cantidad mi i γ 5 α ( X ) tiene un determinante unitario porque γ 5 no tiene rastro (como dice Weinberg en medio del cálculo), por lo que, ya sea que lo divida en componentes o no, nada cambia, la medida es ingenuamente quiralmente invariante.

Para definir la integral de trayectoria, debe cortar la medida, y simplemente no puede hacerlo en un formalismo de espinor de dos componentes puro de manera consistente, no cuando el espinor de 2 componentes está acoplado a un campo de calibre. El problema es que un corte invariante de calibre rompe la simetría quiral. Esto significa que simplemente no puede hacer un corte invariante de calibre puro de dos componentes.

Esto solo sucede cuando insiste en un corte invariante de calibre, de lo contrario, puede mantener la corriente quiral conservada (de modo que mantenga el foralismo de dos espinores sensibles) pero a costa de hacer que la corriente ordinaria (de calibre) no se conserve. Este problema también es la razón por la que discretizar la ecuación de Dirac es molesto --- la discretización introduce un corte, y el corte debe introducir otros grados de libertad para ser consistente.

Puntos de corte invariantes de calibre

Suponga que tiene un campo de 2 espinores que no está acoplado a un campo de calibre, solo acoplado a algunos campos escalares. Luego puede introducir un campo masivo de 2 espinores con un término cinético de signo opuesto usando un término de masa de Majorana (en notación de 2 espinores):

METRO ( ψ α ψ β ϵ α β + C C )

Donde CC es el conjugado hermitiano, con ψ ¯ reemplazando ψ . Puede usar el espinor masivo de Majorana para hacer un regulador de Pauli-Villars, restando bucles muy masivos de los bucles de luz físicos, dejando integrales convergentes (a veces necesita varios campos de Pauli-Villars). Entonces todo está bien, y el regulador es quiralmente invariable, funciona en lenguaje de 2 espinores.

Lo que sale mal cuando acoplas la cosa a un campo de calibre es que no se puede cargar un espinor de Majorana masivo. Si realiza el corte utilizando un regulador Pauli-Villars masivo, rompe la invariancia del indicador en el término de masa. Por lo tanto, no puede cortar un solo espinor de 2 componentes con un espinor cargado de 2 componentes, no sin arruinar la invariancia del calibre y hacer que el acoplamiento al vector sea inconsistente.

Así que tienes algunas opciones. Una opción superficialmente atractiva es hacer un regulador de celosía y mantener los espinores de dos componentes. Esto no funciona, porque si realmente haces un regulador de celosía y mantienes la acción real, necesitas discretizar las derivadas usando una diferencia centrada de la siguiente manera:

ψ ¯ σ ⋅ D ψ

Donde D es un operador de desplazamiento hacia adelante menos un operador de desplazamiento hacia atrás, utilizando el campo de indicador en el vínculo para realizar el desplazamiento de forma covariante. El resultado produce un propagador con más grados de libertad que un espinor quiral, ya que el operador D regulado por celosía tiene un determinante que es cero en varios lugares de la zona de Brillouin. Esto se llama el problema de la duplicación de fermiones, y hace que un regulador de celosía sea una pesadilla.

Entonces, lo que debe hacer en su lugar es convertir el espinor de 2 componentes en un espinor de cuatro componentes, y cortar el espinor de 4 componentes con un espinor masivo de 4 componentes con signo incorrecto que está cargado, estilo Pauli-Villars. Esto introduce un patrón ficticio al espinor original de 2 componentes, para hacer un espinor completo de 4 componentes, y acoplando todo al campo de calibre, solo tiene un truncamiento consistente en dos componentes solo cuando la corriente quiral se conserva en cualquier configuración del campo de indicador de fondo.

Pero ahora, utilizando este corte invariante de calibre, puede calcular la divergencia de la corriente axial y ver que no es cero:

∂ m ψ ¯ γ 5 γ m ψ = 1 dieciséis π 2 F m v F λ σ ϵ m v λ σ

Este cálculo se hace más tarde en Weinberg

regulador fujikawa

Pero estaba preguntando específicamente sobre la forma de Fujikawa, y cuando usa el regulador de Fujikawa, aprovecha el campo de indicador de fondo para definir un nuevo conjunto de variables de integración de Grassman de la siguiente manera:

∏ d C ¯ k d C k

Donde el C k son una combinación lineal de los ψ está usando la k-ésima función propia del operador euclidiano de Dirac. El punto es que luego puede hacer un regulador invariante de calibre introduciendo un factor de

mi − k 2 METRO 2

en cualquier integral sobre k, y este factor elimina los modos de corta distancia de una manera manifiestamente invariante de calibre, ya que está eliminando los modos de k alto, donde k es el valor propio del operador de Dirac invariante de calibre. Tenga en cuenta que el corte es ligeramente diferente para cada elección diferente de campo A de fondo, así es como la divergencia de corriente quiral termina siendo proporcional a algo que involucra el tensor F.

Este corte es manifiestamente invariante de calibre, y manifiestamente regula toda la integración de Fermión, ya que corta efectivamente los valores propios de la D -operador de barra en algún valor efectivo M. Por lo tanto, solo hay un número finito de variables fermiónicas que contribuyen efectivamente a los estados intermedios de la integración de caminos.

Luego, Weinberg está evaluando la corrección del orden líder en M grande para la transformación de la medida utilizando este corte invariable. Esta es la razón por la que el operador D-slash aparece en el corte que usa, y lo explica de manera oblicua. Entonces, cuando transformas la medida quiralmente, usando el corte, obtienes el factor que da Weinberg:

i α ( X ) γ 5 mi − ( D ⋅ γ ) 2 / METRO 2 d ( X − y )

Este regulador Fujikawa cambia el corte a medida que cambia el campo A, de modo que siempre está en un valor propio de tamaño M dado de D ⋅ γ , y esto es lo que te permite calcular la anomalía cuando llevas el corte al infinito. Si desea hacer esto en el formalismo de 2 espinores, debe tener ambos 2 espinores que juntos formen el fermión cargado, de modo que el corte, ya sea en el lenguaje de Pauli-Villars o en el lenguaje de Fujikawa, termine siendo invariante de calibre.

Hola Ron, esta es una prosa maravillosa. Siempre me he preguntado sobre el análisis de Fujikawa de la anomalía utilizando espinores de dos componentes. ¿Hay algún lugar en la literatura que discuta esto con más detalle?
@QuantumDot: Escribí una respuesta más larga (hice el cálculo, aunque fue tedioso y se superpuso demasiado a Weinberg), no sé en ningún lugar, por eso me tomé el tiempo. El problema es el negocio de "es la transformación de fase en la medida", que no enfatiza lo correcto. Es el regulador de división de puntos el que es la verdadera causa. Creo que el mejor lugar (irónicamente) es el artículo original de Adler de la década de 1960, que enfatiza el álgebra de operadores detallada. Resolví esto hace algunos años y lo escribí en una hoja de respuestas mientras hacía TA en QFT. Pero hay una pregunta de investigación menor aquí.
... La principal investigación menor es arreglar el álgebra diferencial del operador para que sea consistente con las anomalías. Esto se hace caso por caso en los libros, usando diagramas para operadores específicos, pero el álgebra completa no está arreglada. Arreglar el álgebra para esto no solo necesita arreglar el OPE, sino también la regla del producto de diferenciación, para que obtengas la anomalía de las ecuaciones de movimiento. Esto no está en la literatura, y nunca lo resolví completamente. El objetivo es utilizar un cálculo para operadores que tenga incorporados los términos de anomalía, como lo hace el cálculo de Ito para las relaciones de conmutación canónicas.
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