¿Cómo debe entenderse la notación de Dirac?

Los físicos suelen relajar generosamente la condición de que la norma debe ser finita y a veces dicen que$|\vec r\rangle,|\vec p\rangle$pertenecen al "espacio de Hilbert". Es exactamente el mismo lenguaje "generoso" que permite a los físicos decir que$\delta(x)$es una "función", la función delta, aunque sus valores alrededor$x=0$son infinitos o "mal definidos", por lo que no es realmente una función.

Rigurosamente matemáticamente, esos objetos no pertenecen al espacio de Hilbert (porque su norma no es finita) pero (en analogía con el concepto de "distribuciones" que incluyen "funciones" como$\delta(x)$) existe un concepto matemático que incluye dichos vectores no normalizables, el espacio amañado de Hilbert.

https://en.wikipedia.org/wiki/Rigged_Hilbert_space

La idea de que uno puede definir un subespacio$\Phi$del espacio de Hilbert que contiene funciones suficientemente suaves. El espacio dual al espacio de Hilbert$H$es$H$sí mismo. Pero el espacio dual al subespacio$\Phi$es$\Phi^*$que es, por el contrario, mayor que$H$, y es esto$\Phi^*$que se llama el espacio amañado de Hilbert y que contiene objetos tales como$|\vec r\rangle$. Formalmente matemáticamente, el triplete completo$(\Phi^*,H,\Phi)$generalmente se lo conoce como "el espacio de Hilbert amañado".

Solo para agregar a lo que se ha dicho y abordar el comentario de @LightnessRacesinOrbit, de hecho, puede tener funciones perfectamente buenas que solo se definen en algún subconjunto de los números reales. La razón por la que el delta de Dirac no es una función no es que solo esté bien definida para algunos números reales y no para otros; de hecho, ¡no está definida como una función en ninguna parte! En cambio, se define como una especie de función "hipotética", llámela$\delta(x)$, que, si existiera, cumpliría la propiedad de que cuando la integraste con cualquier otra función (suficientemente agradable)$f(x)$, obtendrías

$\int_{\mathbb{R}} \delta (x) f(x) \, dx = f(0)$.

No hay una función bien definida que realmente haga esto, pero hay funciones bien definidas que se acercan tanto como quieras: por ejemplo, funciones que podemos llamar$\varphi_\varepsilon$que son iguales a cero en todas partes excepto en un pequeño intervalo$(-\varepsilon, \varepsilon)$alrededor de cero, y son iguales a$\frac{1}{2\varepsilon}$por$x \in (-\varepsilon, \varepsilon)$. Note que si$f(x)$es suave, entonces

$\int_{\mathbb{R}} \varphi_\varepsilon (x) f(x) \, dx \approx f(0)$.

Entonces podemos acercarnos a tener una función que se comporte de la manera que queremos que se comporte un delta de Dirac, pero no del todo (esa igualdad es solo aproximada, porque$f(x)$puede variar en el intervalo$(-\epsilon,\epsilon)$). En lugar de una función, el delta de Dirac es realmente un operador lineal que toma una función suave y te devuelve el valor de esa función en$x=0$. Notacionalmente todavía pretendemos que hay una "función"$\delta(x)$que encarna esta operación cuando integras otras funciones en su contra, pero más propiamente es un elemento del llamado "espacio dual" al espacio de funciones suaves que son cero fuera de un intervalo acotado, es decir, es un elemento de el espacio de operadores lineales sobre tales funciones (como tecnicismo: nótese que es un operador lineal continuo con respecto a la norma uniforme sobre funciones suaves de soporte compacto).