Monopolos magnéticos en teoría de campos

No puede simplemente agregar un término al Lagrangiano para dar la carga magnética habitual de la teoría del calibre electromagnético. La razón es bastante simple: la ecuación de movimiento para un circuito magnético de cuatro corrientes$j_m$es$\mathrm{d}F = j_m$. Pero$\mathrm{d} F = \mathrm{d}\mathrm{d} A = 0$ independientemente de las ecuaciones de movimiento . Así que simplemente agregar un término no funciona.

La primera salida es ver los monopolos como objetos topológicos, cuya ubicación se elimina del espacio-tiempo en el que se considera la teoría de calibre (o "donde el campo de calibre es singular"). Cómo esto conduce a, por ejemplo, la cuerda de Dirac y la cuantización de carga que describo en esta respuesta mía . No se añade ningún término al Lagrangiano, la apariencia del monopolo es de naturaleza puramente topológica, y$\mathrm{d}F = 0$en todas partes donde se define.

Otra salida es introducir un Lagrangiano dual manifiestamente electromagnético con un cuatro potencial eléctrico.$A$y un cuatripotencial magnético$B$desafortunadamente con una elección no canónica de cuatro vectores espaciales$n$donde esta ahora el lagrangiano

$$\begin{align} L = \frac{1}{2n^2} & \left( - \mathrm{d}A(n) \cdot {\star}\mathrm{d}B(n) + \mathrm{d} B(n) \cdot \mathrm{d}{\star}A(n) - \mathrm{d}A(n)\cdot{\star}\mathrm{d}A(n) - \mathrm{d}B(n)\cdot {\star}\mathrm{d}B(n)\right) \\ & - A\cdot j_e - B\cdot j_m \end{align}$$ dónde $j_e,j_m$son las corrientes eléctricas/magnéticas, $X(n)$denota la contracción de la forma $X$con el vector $n$en su primera ranura/índice, y todos los $\cdots$son los habituales productos internos de Minkowski de (co)vectores. La intensidad de campo ahora viene dada por varias fórmulas equivalentes, una de ellas es $F = \mathrm{d}A - (n\cdot\partial)^{-1} ({\star} n\wedge j_m)$, donde la expresión $(n\cdot\partial)^{-1}$el operador integral cuyo núcleo es la función de Green de $(n\cdot \partial) f = 0$(al menos, por consistencia, esta es la intensidad de campo original $\mathrm{d}A$para $j_m = 0$!). Esta solución (que puede que haya destrozado al transmitirla a mi notación) se debe a Zwanziger en Teoría de campo cuántico local-lagrangiano de cargas eléctricas y magnéticas .

Una tercera forma es postular que el campo electromagnético$\mathrm{U}(1)$proviene de romper un$\mathrm{SU}(2)$a través de un mecanismo similar a Higgs, entonces hay 't Hooft-Polyakov monopolos , cuyo campo lejano parece un monopolo magnético para el ininterrumpido$\mathrm{U}(1)$pero que no requiere la eliminación de la ubicación del monopolo (porque en realidad no está ubicado en un punto, el campo no es singular en todas partes). Sin embargo, esto introduce más modificaciones en la teoría porque ahora tienes además los bosones masivos de la simetría rota.