Cómo calcular la regresión de la aptitud individual sobre el fenotipo individual

Considere una población estructurada en grupos de dos individuos. Las interacciones de los individuos siguen el dilema del prisionero aditivo:

C D cooperar ( C ) b − C − C Defecto ( D ) b 0
dónde b es el beneficio y C es el costo Los pagos son para el jugador de la izquierda. Necesito calcular la regresión de la aptitud individual en el fenotipo individual, β ( w i , pag i ) , dónde pag i = 0 si i defectos y pag i = 1 si i coopera. Tenga en cuenta que necesito calcular la regresión dentro de los grupos en lugar de entre grupos.

Pensé que la forma correcta de calcular β ( w i , pag i ) sería variar la estrategia del individuo focal manteniendo constante la estrategia del otro individuo (mi idea era que el otro individuo se convierte en el entorno del individuo focal). Porque cambiar a la cooperación hace que un individuo pierda − C en forma (si mantenemos constante la estrategia del otro individuo), pensé que β ( w i , pag i ) = − C . Pero, para mi sorpresa, β ( w i , pag i ) = − b − C . Para mostrar por qué, McElreath & Boyd ("Mathematical Models of Social Evolution", p. 242) dibujan el siguiente gráfico:

ingrese la descripción de la imagen aquí

Dejar V ( X | Y ) ser la recompensa del individuo X cuando interactúa con Y (en otras palabras, X es el individuo focal; Y es el otro individuo). Entiendo que McElreath y Boyd calcularon el coeficiente de regresión calculando V ( C | D ) − V ( D | C ) --- Opuesto a V ( C | C ) − V ( D | C ) , donde mantienes constante la estrategia del otro individuo. Mi pregunta es por qué esta es la forma correcta de calcular β ( w i , pag i ) .

Olvidé por completo decir qué V era. Arreglé esto ahora. Gracias por mencionarlo.
Si entendí correctamente su segunda pregunta, quiero calcular la regresión de la aptitud en el fenotipo. El ejemplo solo trata con dos fenotipos, cooperar y desertar; y la población solo contiene dos individuos.
@ Remi.b: reescribí la pregunta y agregué un gráfico que explica el ejemplo. Espero que sea más claro ahora.

Respuestas (2)

No estoy seguro de haber entendido la pregunta. Déjeme saber si esto ayuda.

Caso: N=2, frecuencia=0,5

Supongamos que la frecuencia de los que cooperan es 0,5. La pendiente de la línea de regresión (cuya R.squared es igual a 1 ya que tenemos tantos puntos de datos como grados de libertad) es por definición Δ w Δ pag . tu definiste Δ pag = 1 . Qué es Δ w ¿entonces?

Bueno, dado que uno coopera y el otro deserta (como indica el hecho de que la frecuencia de cooperadores es 0.5), entonces uno tendrá el pago de un cooperador que se enfrenta a un desertor y el otro tendrá el pago de un desertor. frente a un cooperador. El cooperador tiene una aptitud de w 0 + b y el desertor tiene una aptitud de w 0 − C . Creo que puede leer mal la matriz de pagos. Para conocer la aptitud de alguien con estrategia i cuando te enfrentas a alguien con estrategia j , miras esa recompensa en fila i y columna j .

Por lo tanto, Δ w = ( w 0 − C ) − ( w 0 + b ) = − ( b + C ) = − b − C , por lo que la pendiente es Δ w Δ pag = − b − C 1 = − b − C

Caso: N>2, frecuencia=0.5

En tal caso, la pendiente de la regresión será necesariamente menor que − b − C porque algunos cooperadores se encontrarán con otros cooperadores, aumentando su aptitud (=aumentando los puntos en el lado derecho de su gráfico) y algunos desertores se encontrarán con otros desertores, disminuyendo su aptitud (=reduciendo los puntos en el lado izquierdo de su gráfico)

En equilibrio

El único equilibrio estable es cuando la frecuencia de cooperadores es 0. En tal caso, no hay varianza y ni siquiera podemos hablar de regresión.

Conclusión

La pendiente no es necesariamente − b − C . Es − b − C para el caso muy especial donde tenemos dos individuos, uno coopera, el otro deserta. En cualquier otro escenario la pendiente s de la regresión es menor. Más específicamente, la pendiente s de la regresión para cualquier norte y para cualquier F r mi q es 0 =< s < − ( b + C )

En un caso en el que la frecuencia de los cooperadores debería ser 0,5, puedo ver por qué el coeficiente de regresión tiene que ser − b − C . Mi pregunta surgió porque McElreath y Boyd derivan el coeficiente de regresión sin hacer suposiciones sobre la frecuencia de cooperadores en un grupo. Si asumimos que podemos tener cualquier frecuencia de cooperadores en un grupo (0, 0.5 y 1), parece que el coeficiente de regresión puede tener valor − C .
estoy de acuerdo contigo en que − b − C no es la pendiente de la regresión en ningún caso. Sí, en algunos casos la pendiente de la regresión puede ser -c. No calculé la pendiente de la regresión para ningún norte y frecuencia, pero probablemente no sea muy difícil, supongo. Ver editar.

Aquí está mi error, creo. w i puede escribirse en términos de pag i de la siguiente manera (tenga en cuenta que pag i sólo puede asumir dos valores, 0 y 1):

w i ( 0 ) = w 0 + k b

w i ( 1 ) = w 0 − C + ( k − 1 ) b

dónde w 0 es la aptitud de referencia y k es el número de altruistas en el grupo (entonces, k puede ser 0, 1 o 2). Cuando estamos calculando β ( w i , pag i ) la pregunta que estamos tratando de responder es " para un grupo dado de la población, ¿cuál es el coeficiente de regresión β ( w i , pag i ) ?". Esto implica que k debe ser constante porque, de lo contrario, estaríamos considerando individuos de diferentes grupos. Respectivamente,

β ( w i , pag i ) = w i ( 1 ) − w i ( 0 )

β ( w i , pag i ) = − b − C

Para β ( w i , pag i ) ser igual a − C tendríamos que considerar la recompensa de los cooperadores de diferentes grupos.

Siguiendo con la ecuación Remi.b sugerida en un comentario más abajo, podemos escribir el coeficiente de regresión a una población estructurada en grupos de norte individuos Más específicamente,

w i ( 0 ) = w 0 + [ k / ( norte − 1 ) ] b

w i ( 1 ) = w 0 − C + [ ( k − 1 ) / ( norte − 1 ) ] b

Con estas definiciones, obtenemos

β ( w i , pag i ) = w i ( 1 ) − w 1 ( 0 )

β ( w i , pag i ) = − C − b / ( norte − 1 )

b y C no tiene la definición estándar dada por Hamilton. La aptitud de un individuo que coopera generalmente se calcula como w C = w 0 + X PAG O C C + ( 1 − X ) PAG O C d , dónde PAG O C d es la recompensa de un individuo que coopera cuando se encuentra con un individuo que deserta y X es la frecuencia de cooperadores en la población.
Mi impresión es que, en el ejemplo anterior, su ecuación produce w C = w 0 + X ( b − C ) + ( 1 − X ) ( − C ) = w 0 + X b − C . La probabilidad de que un cooperador se encuentre con otro cooperador será ( k − 1 ) / ( 2 − 1 ) = ( k − 1 ) , que da la ecuación que escribí. ¿Me estoy perdiendo de algo?
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