Solución para la velocidad hiperbólica

Después de algunas manipulaciones matemáticas terminé encontrando una solución real que hace uso de la anomalía hiperbólica$H$.

En el siguiente,$e$es la excentricidad de la órbita,$\nu$es la verdadera anomalía y$a$es el semieje mayor.

Requisito previo: demostrar que$iH = E$en una órbita hiperbólica

Esta pequeña prueba está aquí solo para mostrar cómo se puede recuperar la igualdad de las conocidas fórmulas de anomalías excéntricas.

• Para una órbita elíptica ($e < 1$), la anomalía excéntrica$E$es definido por:

  $$\tag{1} \tan\frac{E}{2} =\sqrt{\frac{1-e}{1+e}}\tan\frac{\nu }{2}$$

• Para una órbita hiperbólica ($e > 1$), la anomalía hiperbólica$H$(también escrito$F$) es definido por:

  $$\tag{2} \tanh\frac{H}{2} =\sqrt{\frac{e-1}{e+1}}\tan\frac{\nu }{2}$$

En el caso de una órbita hiperbólica,$1-e < 0$conduce a una definición indefinida de$E$en (1) debido al término raíz cuadrada. De ahí la necesidad de utilizar su equivalente hiperbólico (2). Sin embargo, considerando la relación (1) en$\mathbb{C}$al involucrar$i = \sqrt{-1}$permite una definición compleja de$E$:

$$\tan\frac{E}{2} = i\sqrt{\frac{e-1}{e+1}}\tan\frac{\nu }{2}$$

en la que notamos el término correcto de (2). Esto en realidad vincula directamente$E \in \mathbb{C}$y$H \in \mathbb{R}$por:

$$\tag{3} \tan\frac{E}{2} = i\tanh\frac{H}{2}$$

Las relaciones entre funciones hiperbólicas y trigonométricas dan:

$$\forall x \in \mathbb{R} \ \ \ i\tanh(x) = \tan(ix)$$

que cuando se aplica a (3) conduce a:

$$\tan\frac{E}{2} = \tan\frac{iH}{2}$$

Y desde$x \mapsto \tan(ix)$es biyectiva$\forall x \in \mathbb{R}$porque es proporcional a$x \mapsto \tanh(x)$, deducimos que :

$$\tag{4} iH = E$$

en el caso de una órbita hiperbólica, con$H \in \mathbb{R}$(y por lo tanto$E \in i\mathbb{R}$).

Adaptación de la fórmula del vector de velocidad intermedia a órbitas hiperbólicas

La ecuación descrita por René Schwarz para calcular el vector velocidad intermedia (ignorando la componente z con valor 0) es:

$$\tag{5} \dot{\vec{o}} =\frac{\sqrt{\mu a}}{r}\left(\begin{array}{ c } -\sin E\\ \sqrt{1-e^{2}}\cos E \end{array}\right)$$

Supongamos ahora una órbita hiperbólica, por lo tanto$e > 1$y$a < 0$. Por lo tanto (5) no se puede usar directamente porque$\sqrt{1-e^2}$y$\sqrt{\mu a}$no están definidos en$\mathbb{R}$. Usando el hecho de que$a = -|a|$y$1 - e^2 = -(e^2 - 1)$, considerando la ecuación en$\mathbb{C}$da:

$$\begin{array}{ c c l } ( 5) \ \ \Leftrightarrow \ \ \dot{\vec{o}} & = & \dfrac{\sqrt{-\mu |a|}}{r}\left(\begin{array}{ c } -\sin E\\ \sqrt{-\left( e^{2} -1\right)}\cos E \end{array}\right)\\ & = & i\dfrac{\sqrt{\mu |a|}}{r}\left(\begin{array}{ c } -\sin E\\ i\sqrt{e^{2} -1}\cos E \end{array}\right)\\ & = & \dfrac{\sqrt{\mu |a|}}{r}\left(\begin{array}{ c } -i\sin E\\ -\sqrt{e^{2} -1}\cos E \end{array}\right)\\ & = & \dfrac{\sqrt{\mu |a|}}{r}\left(\begin{array}{ c } -\sinh iE\\ -\sqrt{e^{2} -1}\cosh iE \end{array}\right) \end{array}$$

porque$\forall x \in \mathbb{R} \ \ i\sin x = \sinh ix$y$\cos x = \cosh ix$.
Finalmente, involucrar$iH = E \Leftrightarrow iE = -H$, y el hecho de que$\cosh$es par y$\sinh$es impar , obtenemos:

$$\tag{6} \dot{\vec{o}} =\frac{\sqrt{-\mu a}}{r}\left(\begin{array}{ c } \sinh H\\ -\sqrt{e^{2} -1}\cosh H \end{array}\right)$$

con$|a|$Escrito como$-a$para mayor claridad.

Esta fórmula parece funcionar en casos prácticos (simulación y determinación de órbitas). Por favor, no dude en comentar para corregir eventuales errores.