¿En qué punto de viajar progresivamente más rápido alrededor de la Tierra no vas a volver a caer?

¡Esta es una gran pregunta!

tl; dr

Desde una órbita circular, un poco más o menos de velocidad hace que tu órbita sea ligeramente elíptica. Si tu órbita estuviera muy cerca de la superficie de la Tierra (LEO u órbita terrestre baja, como la ISS), entonces un poco menos de velocidad (a una altura determinada) te pondría en lo profundo de la atmósfera y te quemarías. Pero eso no está relacionado con la mecánica orbital, es solo un pequeño "detalle" relacionado con la órbita en LEO. Necesitarás un 41% más de velocidad para escapar realmente de la Tierra por completo. Menos del 41% extra, y estarías en una órbita elíptica alta.

A la altura de la Estación Espacial Internacional de 400 km sobre el ecuador terrestre de 6378 km, esa velocidad es de 7,67 km/s .

"el espacio es difícil" + "el espacio es matemática" → "las matemáticas son difíciles"? ¡De ninguna manera!

La mecánica orbital no es intuitiva, así que aquí hay un resumen rápido de algunas cosas.

1. El campo de gravedad de la Tierra es bastante parecido al de una esfera perfecta (dentro de un 0,1 %).

2. El campo de gravedad fuera de una esfera perfecta es el mismo que el campo de un punto en el centro de la misma masa. ( Teorema de la cáscara de Newton )

3. La ecuación vis-viva te da la velocidad de un objeto en cualquier órbita elíptica usando el eje semi-mayor$a$y la distancia actual desde el centro$r$:

$$v^2 = GM\left( \frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right)$$

4. Si es una órbita circular, puede establecer$r$=$a$y obten:

$$v^2 = \frac{GM}{a}$$

5. El parámetro gravitatorio estándar de la Tierra.$GM_E$es aproximadamente 3.986E+14 m^3/s^2. esa es la constante gravitacional $G$veces la masa de la tierra$M_E$. Debido a que monitoreamos los satélites de la Tierra con mucho cuidado, conocemos ese producto con mucha más precisión de lo que sabemos.$G$o$M_E$por separado.

6. La energía por kilogramo (energía específica) de un objeto en órbita es la suma de los términos cinético y potencial:

   $$E= \frac{1}{2}v^2-\frac{GM}{r}$$

   Para una órbita circular o elíptica será negativa (órbita ligada), para una órbita (apenas) de escape (parábola) será cero. La energía positiva también significa escape, pero también significa que incluso a distancias muy grandes habrá mucha velocidad "sobrante".

7. Conectando los números usando el radio ecuatorial de la Tierra de 6378 km más una altitud (digamos de la ISS) de 400 km dando$a$de 6.778.000 metros, se obtiene la velocidad orbital de unos 7669 m/s o 7,67 kilómetros/segundo o unas 17.100 millas por hora . Como "tarea" puedes calcular la altitud aproximada de la ISS cuando su velocidad era de 17.500 cuando se imprimió este cartel clásico de la ISS (googlea "señal de límite de velocidad de la estación espacial"):

   

   arriba: "STS110-353-012 (8-19 de abril de 2002) --- La astronauta Ellen Ochoa , especialista de la misión STS-110, posa junto a las señales de límite de velocidad en el nodo Unity de la Estación Espacial Internacional (ISS)". desde aquí _ Lea más sobre la historia del letrero en esta respuesta "histórica" .

   Por coincidencia, la NASA acaba de lanzar hoy un video de YouTube usando ese icónico letrero en el título: Ciencia de la estación espacial a 17,500 millas por hora .

8. Si estuvieras en esta órbita, pero fueras un poco más rápido o más lento, tu órbita se volvería ligeramente elíptica. Si estaba en 6778 km pero iba solo a 7550 m/s en lugar de 7669 m/s, puede volver a calcular el semieje mayor$a$de la ecuación vis-viva para ser sólo 6576 km.$a= (r_{peri} + r_{apo})/2$da su periapsis o punto más bajo a 6375 km o 3 km por debajo de la superficie ecuatorial de la Tierra. Así que tu órbita teórica todavía está bien, pero has vuelto a entrar en la atmósfera y te has quemado.

9. ¿Qué tan rápido para escapar? Desde cualquier punto, la velocidad de escape es la raíz cuadrada de 2 veces la velocidad de una órbita circular a esa altura. Puede calcular eso configurando la energía (desde el punto n. ° 6 anterior) en cero.

   $$0= \frac{1}{2}v^2-\frac{GM}{r}$$
   $$\frac{1}{2}v^2 = \frac{GM}{r}$$
   $$v^2 = 2\frac{GM}{r}$$
   $$v = \sqrt{2\frac{GM}{r}}$$

   A 6778 kilómetros, eso es 10 845 m/s, o 1,414 veces mayor que la velocidad orbital circular de 7668 m/s, que es un 41 % más rápida. Cualquier cosa menos, y entrarías en una elipse alta, pero volverías después de cada período orbital.