No tengo idea de qué es esto y he estado buscando en la red, pero todo lo que obtengo es una anomalía excéntrica. La ecuación que relaciona la anomalía excéntrica hiperbólica F con su anomalía verdadera es exactamente el mismo que entre la anomalía excéntrica E y su anomalía verdadera. Supongo que es probablemente la versión hiperbólica de la elipse.
La anomalía hiperbólica es el equivalente hiperbólico de la anomalía excéntrica.
Como mencionaste en un comentario anterior, la anomalía excéntrica es el ángulo desde el cuerpo central hasta el círculo auxiliar de la órbita. Debido a que una órbita hiperbólica no tiene un círculo auxiliar, necesitamos una formulación diferente.
Para anomalía hiperbólica, usamos una hipérbola equilátera, que tiene una excentricidad de .
Lo complicado de la anomalía hiperbólica es que, en lugar de un ángulo, se define como un área.
Donde se define como el área entre el eje X, la hipérbola equilátera desde el periapsis hasta la proyección vertical de la ubicación de la nave espacial, y la línea entre este punto de proyección y el origen.
En su imagen, esta es el área sombreada.
Es un parámetro no intuitivo que realmente no tiene un significado físico que alguien use. Principalmente, solo se usa como una cantidad matemática.
La ecuación que relaciona la anomalía excéntrica hiperbólica F con su anomalía verdadera θ es exactamente la misma que la que existe entre la anomalía excéntrica E y su anomalía verdadera.
Parece que no son lo mismo.
A partir de esta práctica tabla , he reconstruido los siguientes conjuntos de ecuaciones. , , y son las anomalías excéntricas para las órbitas keplerianas elípticas (y circulares), parabólicas e hiperbólicas.
La fuente de esa tabla es a su vez:
Referencia: " Fundamentos de astrodinámica " por RRBate, DDMueller y JE White, Dover Publications (1971)
Es posible que pueda encontrar versiones en pdf en línea, o mejor aún, versiones físicas en una biblioteca.
nota: he tomado prestado gran parte de esto de esta respuesta .
Elipse, Círculo :
hipérbola ( :
parábola ( :
Para obtener el eje semi-mayor o para conseguir , use lo siguiente (no se preocupe de que es negativo para la hipérbola):
Elipse, hipérbola:
Elipse:
Círculo:
Parábola:
Una consulta rápida con y :
e theta a v_peri E/D/F M t
1.5 90.000000 -2.0 1.581139 55.14281 40.94513 2.021271
1.0 90.000000 n/a 1.414214 57.29578 76.39437 1.885618
0.5 90.000000 2.0 1.224745 60.00000 35.19020 1.737177
0.0 90.000000 1.0 1.000000 90.00000 90.00000 1.570796
Si quieres probarlo en Python:
def deriv(X, t):
x, v = X.reshape(2, -1)
acc = -mu * x * ((x**2).sum())**-1.5
return np.hstack((v, acc))
def get_D(theta, e):
if e == 1.0:
D = np.tan(0.5*theta)
else:
D = np.nan
return D
def get_E(theta, e):
if e < 1.0:
term = np.sqrt((1.-e)/(1.+e)) * np.tan(0.5*theta)
E = 2.*np.arctan(term)
else:
E = np.nan
return E
def get_E_alt(theta, e):
if e < 1.0:
term = (e + np.cos(theta)) / (1. + e*np.cos(theta))
E = np.arccos(term)
else:
E = np.nan
return E
def get_F(theta, e):
if e > 1.0:
term = np.sqrt((e-1.)/(e+1.)) * np.tan(0.5*theta)
F = 2.*np.arctanh(term)
else:
F = np.nan
return F
def get_F_alt(theta, e):
if e > 1.0:
term = (e + np.cos(theta)) / (1. + e*np.cos(theta))
F = np.arccosh(term)
else:
F = np.nan
return F
def get_M_from_E(E, e):
if e < 1.0:
M = E - e*np.sin(E)
else:
M = np.nan
return M
def get_M_from_F(F, e):
if e > 1.0:
M = e*np.sinh(F) - F
else:
M = np.nan
return M
def get_M_from_D(D, e):
if e == 1.0:
M = D + D**3/3.
else:
M = np.nan
return M
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.integrate import odeint as ODEint
# http://www.bogan.ca/orbits/kepler/orbteqtn.html
quarterpi, halfpi, pi, twopi = [f*np.pi for f in [0.25, 0.5, 1, 2]]
rads, degs = pi/180, 180/pi
mu = 1.0
th0, th1 = 0.0, halfpi
print "th0, th1 (degs): ", degs*th0, degs*th1
eccs = [1.5, 1.0, 0.5, 0.0]
for e in eccs:
print "e: ", e
rp = 1.0 # periapsis
if e < 1.0:
print " is ellipse!"
ra = rp * (1+e)/(1-e)
print "rp, ra: ", rp, ra
a0 = 0.5*(rp + ra)
v0 = np.sqrt(mu * (2./rp - 1./a0))
print "a0, v0: ", a0, v0
E0, E1 = [get_E(th, e) for th in [th0, th1]]
M0, M1 = [get_M_from_E(E, e) for E in [E0, E1 ]]
print "E0, E1 (degs): ", degs*E0, degs*E1
print "M0, M1 (degs): ", degs*M0, degs*M1
print "E0, E1: ", E0, E1
print "M0, M1: ", M0, M1
dt = np.sqrt(a0**3/mu) * (M1-M0)
print "dt (sec): ", dt
elif e > 1.0:
print " is hyperbola!"
ra = rp * (1+e)/(1-e)
print "rp, ra: ", rp, ra
a0 = 0.5*(rp + ra)
v0 = np.sqrt(mu * (2./rp - 1./a0))
print "a0, v0: ", a0, v0
F0, F1 = [get_F(th, e) for th in [th0, th1]]
M0, M1 = [get_M_from_F(F, e) for F in [F0, F1 ]]
print "F0, F1 (degs): ", degs*F0, degs*F1
print "M0, M1 (degs): ", degs*M0, degs*M1
print "F0, F1: ", F0, F1
print "M0, M1: ", M0, M1
dt = np.sqrt((-a0)**3/mu) * (M1-M0)
print "dt (sec): ", dt
elif e == 1.0:
print " is parabola!"
print "rp: ", rp
v0 = np.sqrt(mu * (2./rp))
print "v0: ", v0
D0, D1 = [get_D(th, e) for th in [th0, th1]]
M0, M1 = [get_M_from_D(D, e) for D in [D0, D1 ]]
print "D0, D1 (degs): ", degs*D0, degs*D1
print "M0, M1 (degs): ", degs*M0, degs*M1
print "D0, D1: ", D0, D1
print "M0, M1: ", M0, M1
q = rp
dt = np.sqrt(2.*q**3/mu) * (M1-M0)
print "dt (sec): ", dt
time = np.array([0, dt])
X0 = np.array([rp, 0, 0, v0])
answer, info = ODEint(deriv, X0, time, atol=1E-13, rtol=1E-13, full_output=True)
x, y, vx, vy = answer.T
theta = np.arctan2(y, x)
print degs*theta[0], degs*theta[-1], " should be ", degs*th0, degs*th1
UH oh