Cálculo de cambios de frecuencia de ángulo de punto adelante y desplazamiento Doppler con el componente de velocidad tangencial/radial para enlace entre satélites

No soy un experto en el tema, pero aquí hay un análisis basado en la física básica.

Ya que ha usado diagramas 2D donde parece que las dos órbitas están en el mismo plano, me quedaré con eso también, pero recuerde que las órbitas son 3D y necesitará calcular las velocidades radial y perpendicular usando el 3D. vectores de velocidad de cada satélite.

Los vectores que se muestran en la Figura 2 muestran la forma correcta de calcular tanto el ángulo de avance$\theta_{PA}$y el desplazamiento Doppler.

Creo que puedes llamar a esos dos vectores$Vr$para la velocidad radial, pero donde el radio se dibuja de un satélite al otro, y$Vp$para la velocidad perpendicular, que es la velocidad perpendicular a la línea que conecta a los dos satélites.

En este caso, con los vectores dibujados como se muestra, el desplazamiento Doppler estará relacionado con

$$\frac{\Delta f}{f} \approx -\frac{Vr_1+Vr_2}{c}$$

y el ángulo de anticipación será

$$\theta_{PA} \approx 2\frac{Vp_1+Vp_2}{c}$$

Si tiene vectores de estado orbital adecuados para las dos naves espaciales$\mathbf{r_1}, \mathbf{v_1}$y$\mathbf{r_2}, \mathbf{v_2}$entonces puedes hacer lo siguiente:

precaución: estos vectores de estado pueden ser de cualquier marco inercial , pero no creo que sea apropiado para un marco giratorio. Observe que las dos velocidades se restan; en los dibujos 2D de la pregunta, las flechas apuntan en direcciones opuestas, por lo que se agregan las velocidades escalares, pero eso es un artefacto de trabajar con las imágenes que tienen flechas que apuntan en las direcciones en las que están.

$$\mathbf{\hat{r}} = \frac{\mathbf{r_2} - \mathbf{r_1}}{|\mathbf{r_2} - \mathbf{r_1}|}$$

$$\frac{\Delta f}{f} \approx -\frac{(\mathbf{v_2} - \mathbf{v_1}) \cdot \mathbf{\hat{r}}}{c}$$

$$\theta_{PA} \approx 2\frac{|(\mathbf{v_2} - \mathbf{v_1}) \times \mathbf{\hat{r}}|}{c}$$

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Aquí hay una imagen aleatoria de Internet, tomada de Space Laser Communications Systems, Technologies, and Applications :

Si$\vec{R}_1$y$\vec{R}_2$son las posiciones de los dos satélites en cualquier sistema de coordenadas consistente, incluido uno centrado en la Tierra, entonces$\vec{R}_1 - \vec{R}_2$es lo que estás buscando: la distancia vectorial entre ellos. No necesita preocuparse por el movimiento de uno frente al otro, solo cómo ese vector se alarga/contrae y gira.

Para órbitas casi circulares en el mismo plano, realmente no cambia mucho la longitud. Los puntos en una órbita circular simplemente se siguen unos a otros a distancias fijas.

Usted dijo,

Mientras calculamos el ángulo de punto adelante, trabajamos con el componente vectorial de velocidad tangencial y para calcular el desplazamiento Doppler, es decir, los cambios en las frecuencias, trabajamos con el componente vectorial de velocidad radial.$\newcommand{\d}{\partial} \newcommand{\r}{\vec{\mathbf{r}}} \newcommand{\R}{\vec{\mathbf{R}}} \newcommand{\v}{\vec{\mathbf{v}}} \newcommand{\V}{\vec{\mathbf{V}}}$

pero eso no es correcto, o al menos no cuando se combina con las imágenes que proporcionó.

El desplazamiento Doppler viene dado por la tasa de cambio en la distancia entre los dos satélites, que es igual a la diferencia en sus velocidades 3D totales cuando se proyectan en la línea de visión instantánea. Las velocidades "radial" y "tangencial" que importan no tienen nada que ver con el marco local en uso en cada satélite, sino más bien con los componentes paralelos o perpendiculares a la diferencia de posición.

Dejar$\r_1$sea ​​la posición del satélite transmisor, y sea$\r_2$Sea la posición del satélite receptor. Definir la posición relativa$\R=\r_2-\r_1$. Entonces, dado que tomar derivadas conmuta con la resta, la velocidad relativa$\V$es igual a ambos$\d\R/\d t$y$\v_2-\v_1 = \d\r_2/\d t -\d\r_1/\d t$.

El rango instantáneo,$R$, es la raíz cuadrada de$\R\cdot\R$. Su derivada temporal, la "tasa de rango", es

$$\frac{\d R}{\d t} = \frac{\d}{\d t}\sqrt{\R\cdot\R} = \frac{1}{2 R} \frac{\d}{\d t}(\R\cdot\R)=\frac{\V\cdot\R+\R\cdot\V}{2R} = \frac{\R\cdot\V}{R}$$ Tiene que ser así, porque todo lo que hemos hecho es reformular la definición Doppler:$\R/R$es el vector unitario en la dirección del desplazamiento, y punteándolo con$\V$es lo que significa proyección.

Para hablar de anticipación, tenemos que ser más precisos en la forma en que trabajamos con el tiempo. En particular, en lugar de utilizar la diferencia de posición instantánea como una función de una sola vez,$\R(t)=\r_2(t)-\r_1(t)$, necesitamos en cambio definir una diferencia de posición más genérica como una función de dos tiempos diferentes,$\R(t_1,t_2)=\r_2(t_2)-\r_1(t_1)$. Esto nos da una fórmula para expresar la diferencia entre dónde solía estar el transmisor en$t_1$, y dónde va a estar el receptor$t_2$. Entonces la fórmula

$$\frac{\R(t_1,t_1)\cdot\R(t_1,t_2)}{R(t_1,t_1) R(t_1,t_2)}$$ nos da el coseno del "ángulo de punto adelante". Para hacer esto exactamente bien, necesita mover las cosas un poco, para maximizar la autoconsistencia de su solución. Es decir, si comienzas con$R(t_1,t_1)$, entonces podrías usar$t_2 \approx t_1 + R(t_1,t_1)/c$($c$es la velocidad de la transmisión, que supongo que es la luz) para calcular una mejor respuesta para$R(t_1,t_2)$, pero eso cambia el estimado$t_2$en el que necesita interpolar sus efemérides, lo que cambia su mejor estimación del tiempo, lo que cambia la diferencia de posición, etc. Ejecuta este procedimiento varias veces y, con suerte, itera hasta la convergencia en un$t_2$estimado con el mismo orden de precisión que sus efemérides.