¿Cómo aplicar la Transformada de Fourier a esto?

tengo la ecuacion 5 porque ⁡ ( t ) mi − 3 t tu ( t ) y la transformada de Fourier es

5 ( 3 + j ω ) ( 3 + j ω ) 2 + 1
No puedo entender cómo llegar a esta respuesta.

Usando la tabla de pares FT, tengo porque ⁡ ( t ) = π [ d ( ω − 1 ) + d ( ω + 1 ) ] y

mi − 3 t tu ( t ) = 1 3 + j ω

Usando la propiedad de la multiplicación obtengo:

5 2 ( 1 3 + j ( w − 1 ) + 1 3 + j ( w + 1 ) )

Simplemente no puedo entender cómo vamos de aquí a

5 ( 3 + j ω ) ( 3 + j ω ) 2 + 1

Has perdido un pi en alguna parte. El denominador común es [3+j(w-1)][3+j(w+1)], solo suma las fracciones.
Tienes razón, el pag i de F T ( C o s ( t ) ) debe cancelar la pag i de la propiedad de la multiplicación. lo he cambiado
Ahora entiendo, estaba pensando que no podría distribuir el j ( w − 1 ) y j ( w + 1 )

Respuestas (1)

Como lo mencionaste:

PIE ⁡ ( porque ⁡ ( t ) ) = π [ d ( ω − 1 ) + d ( ω + 1 ) ]
PIE ⁡ ( mi − 3 t tu ( t ) ) = 1 3 + j ω

La multiplicación en el dominio del tiempo es la convolución en el dominio de la frecuencia con factor 1 2 π :

1 2 π π [ d ( ω − 1 ) + d ( ω + 1 ) ] ∗ ( 1 3 + j ω ) =
= 1 2 [ d ( ω − 1 ) + d ( ω + 1 ) ] ∗ ( 1 3 + j ω ) =
Como convolución de una función F ( ω ) con d ( ω − a ) es F ( ω − a ) :

= 1 2 ( 1 3 + j ( ω − 1 ) + 1 3 + j ( ω + 1 ) ) =

= 1 2 ( 3 + j ( ω + 1 ) + 3 + j ( ω − 1 ) ( 3 + j ( ω + 1 ) ) ( 3 + j ( ω − 1 ) ) ) =
= 1 2 ( 6 + 2 j ω 9 + 3 j ( ω + 1 + ω − 1 ) − ( ω + 1 ) ( ω − 1 ) ) =
= 3 + j ω 9 + 6 j ω − ω 2 + 1 =
= 3 + j ω ( 3 + j ω ) 2 + 1
agregar el factor 5 omitimos al principio, y obtendrás tu resultado.

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