Cuando una señal tiene un interarmónico, ¿la señal es periódica o no periódica?

Tengo algunas preguntas con respecto a los interarmónicos. Lo que voy a hacer es primero preguntar solo algunas y luego, a medida que las personas las respondan, ampliaría esta publicación o crearía una nueva pregunta.

Los armónicos son sinusoides que tienen una frecuencia que es un múltiplo entero de la frecuencia fundamental de la señal original. X ( t ) ellos representan. Los interarmónicos (o interarmónicos) se definen como sinusoides que tienen una frecuencia que no es un múltiplo entero de la frecuencia fundamental de la señal. X ( t ) . Primera pregunta: en esa definición de interarmónicos, ¿se supone que la señal X ( t ) es periódico, o no?¹

Quiero decir, sí, usamos series de Fourier generalmente para señales periódicas, pero no he leído un solo libro de texto sobre matemáticas, análisis de circuitos, electrónica o señales y sistemas donde hablen sobre interarmónicos. El teorema de Fourier nunca habla de interarmónicos. El único lugar donde he visto una breve discusión sobre interarmónicos es en libros de texto sobre calidad de energía y armónicos. Entonces, esto me hace preguntarme si los interarmónicos tienen sentido, o es solo un término inventado sin ninguna prueba matemática. Entonces, antes de hacer más preguntas, me gustaría saber la respuesta a la primera pregunta anterior.

Tengo otra pregunta. Como sabes, hay varias formas de representar una serie de Fourier. Una es la forma trigonométrica, otra es la forma amplitud-fase y la otra es la forma exponencial compleja. Escribiendo las amplitudes (es decir, los valores máximos o valores pico) de los armónicos en términos de valores RMS, la forma amplitud-fase es:

X ( t ) = X 0 + 2 ∑ norte = 1 ∞ X RMS, norte porque ⁡ ( 2 π norte F 0 t + θ norte )

Mi segunda pregunta es si cuando una señal tiene un interarmónico de frecuencia metro F 0 , dónde metro es un número positivo no entero, lo sumamos a la expresión anterior como una nueva sinusoide 2 X RMS, metro porque ⁡ ( 2 π metro F 0 + θ metro ) ? Si no, ¿cómo contribuye analíticamente el interarmónico a la señal? X ( t ) ?

Nota ¹: la serie de Fourier se puede utilizar para representar una señal periódica con una expresión válida para todos los tiempos t , o para representar una señal no periódica en un intervalo de tiempo Δ t .

" ... y luego, a medida que la gente las responda, ampliaría esta publicación o crearía una nueva pregunta ". Cree una nueva pregunta. No cambie la pregunta después de que se hayan dado las respuestas, ya que las hace parecer respuestas a medias. Solo edite para mejorar la pregunta original.
@Transistor Bien, ¡gracias por la sugerencia!
En el contexto de la óptica: mezcla de cuatro ondas .

Respuestas (2)

Digamos que tienes un interarmónico de 1.5. Si escala su frecuencia fundamental supuesta en 0,5, tendrá dos sinusoides armónicos enteros que contribuyen a la señal: un segundo armónico y un tercer armónico. Equivalente, por supuesto, a la señal original, solo una forma entera de verlo.

Primer caso : Fundamental = f1

X ( t ) = porque ⁡ ( 1 ∗ 2 π F 1 t + θ norte ) + porque ⁡ ( 1.5 ∗ 2 π F 1 t + θ metro )

Segundo caso : Fundamental = f2 = 0.5f1

X ( t ) = porque ⁡ ( 2 ∗ 2 π F 2 t + θ norte ) + porque ⁡ ( 3 ∗ 2 π F 2 t + θ metro )

Estas son señales equivalentes (y periódicas), simplemente elegí asumir una frecuencia fundamental diferente para mi análisis para tener armónicos enteros.

Los interarmónicos siguen siendo sinusoides, ¿verdad?
Si señor, eso es correcto.
Gracias. Siguiendo su respuesta, si escalo la frecuencia, ¿no obtendríamos una señal nueva y diferente a la anterior? Por ejemplo, si escalo la frecuencia de la señal porque ⁡ ( t ) a porque ⁡ ( 0.2 t ) , estas dos señales no son lo mismo, ¿verdad? (Este es solo un ejemplo simple).
No si lo haces correctamente, como muestro arriba (edité mi respuesta). No estoy cambiando la frecuencia de cada sinusoide. Solo estoy jugando y usando un fundamental diferente, de modo que termino con solo armónicos enteros.
¡Ese truco de escalar la frecuencia fue genial! Revisé las dos señales en su respuesta en esta aplicación de GeoGebra y, de hecho, son las mismas. Sin embargo, esto ha estallado más preguntas en mi cabeza. Por ejemplo, en la primera expresión de X ( t ) en su respuesta, si suponemos que F 1 = 1  Hz y θ norte = θ metro = 0 ° , puedes ver en la aplicación GeoGebra (o demostrarlo analíticamente) que la frecuencia fundamental de X ( t ) es en realidad 1 / ( 2  s ) = 0.5  Hz , no F 1 = 1  Hz .
Otra pregunta que surgió: Supongamos que tenemos una señal periódica X ( t ) con una serie de Fourier, adicionalmente con k interarmónicos. Así, en general, el número de términos en la expresión para X ( t ) sería 1 (el componente DC) + ∞ (el número de armónicos) + k (el número de interarmónicos). ¿Puede garantizar que siempre podemos escalar una expresión de este tipo de modo que no haya interarmónicos (lo mismo que hizo en su ejemplo, pero en un caso más general)?
Hola, @AlejandroNava: puedes declarar que la frecuencia fundamental sea la que quieras cuando estés creando las señales. En el primer caso, si declaramos f1 = 1 Hz, la señal se compone de un componente fundamental y un componente armónico de 1,5. El fundamental que está viendo (correctamente) en su diagrama de GeoGebra es el fundamental "correcto" con respecto a la periodicidad de la forma de onda. Para encontrarlo, solo encuentra el GCD de todos los componentes de frecuencia.
Por ejemplo, el GCD en el primer caso es de 0,5 Hz, como reconoció en su análisis en GeoGebra. Aquí hay una buena página que muestra cómo calcular el MCD (máximo común divisor, también llamado máximo común divisor).
Re: "¿Puede garantizar que siempre podemos escalar una expresión tal que no haya interarmónicos"? Todas las sinusoides analógicas son periódicas, así que sí. No es necesariamente cierto para sinusoides discretos; lea aquí para obtener más detalles. Yo mismo no lo sabía hasta que leí esa página. Esta publicación también puede ser útil.
Sí, la suma de sinusoides cuya frecuencia no es un número irracional da como resultado una señal periódica; en este post de Reddit alguien explica por qué, en el caso de la suma de dos sinusoides. Y sí, podemos calcular el período fundamental o la frecuencia usando el MCM (mínimo común múltiplo) de los períodos, como se muestra en el documento que compartiste o en este video . [Continúa en el siguiente comentario]
[Siguiendo mi comentario anterior] Por lo tanto, si sumamos el componente de CC más los armónicos infinitos más los interarmónicos, el resultado sería una señal periódica (asumiendo que la frecuencia de todos los interarmónicos no son números irracionales). Pero como dijiste, en mi ejemplo de GeoGebra para los valores que elegí, la frecuencia fundamental real (o período fundamental) de la señal resultante no es la misma que la de los armónicos. ¿No es esto una contradicción?
Gracias por los enlaces. Ahora revisaré su último comentario en el que respondió mi pregunta "¿Puede garantizar que siempre podemos escalar una expresión de tal manera que no haya interarmónicos?"

El estándar IEEE #519 , titulado Prácticas y requisitos recomendados de IEEE para el control de armónicos en sistemas eléctricos de potencia , versión del año 2014 (la última actualización), en la página 3, define un interarmónico de la siguiente manera:

interarmónico (componente) : Un componente de frecuencia de una cantidad periódica que no es un múltiplo entero de la frecuencia a la que está funcionando el sistema de suministro (por ejemplo, 50 Hz o 60 Hz).

Entonces, cuando se dice que una señal tiene interarmónicos, la señal debe ser periódica, al menos cuando se usa la definición de IEEE.

Como mostró Relayman en su respuesta, la presencia de interarmónicos en una señal periódica depende de qué período (el período fundamental o un múltiplo) se utiliza para calcular los coeficientes de la serie de Fourier. El período fundamental T 0 de una señal periódica se define como el valor positivo más pequeño de T que satisface X ( t + T ) = X ( t ) para todos t . Cuando usamos el período fundamental para calcular la serie de Fourier de tiempo continuo, no hay interarmónicos presentes.

Cuando una señal tiene un interarmónico, ¿la señal es periódica o no periódica?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v