Usando la transformada de Fourier para resolver la corriente en un circuito con condición inicial

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Usando la transformada de Fourier para resolver la corriente en un circuito con condición inicial

emnha

Estoy tratando de resolver la corriente del inductor para el siguiente circuito usando la transformada de Fourier en lugar de Laplace. El propósito es ver si la transformada de Fourier también funciona para problemas con condiciones iniciales como esta. La fuente de voltaje es una fuente de voltaje de CC.

Por KVL: $\ -1 + L\frac{\mathrm{di} }{\mathrm{d} x} + R i = 0$

Transformada de Fourier de la ecuación anterior:

$\ -2\pi \delta (\omega ) + j\omega L *I(\omega ) + R*I(\omega ) = 0$

Sin embargo, no veo en ninguna parte que la condición i(0) se use aquí. ¿Cómo puedo incluir la condición inicial y resolver la corriente?

PD. El circuito está tomado de este sitio.

Chu

¿Es la fuente de voltaje un escalón unitario? Si es así, la transformada de Fourier está mal. Además, la ecuación KVL tiene un signo incorrecto.

emnha

@Chu: la fuente de voltaje es una fuente de CC, sí, la señal es un error. Lo corregiré ahora.

Tony Estuardo EE75

El espectro de Fourier de corriente en el voltaje en la resistencia debe ser

\frac{V_{i n}}{R} - I (0) = Δ I

$\dfrac{V_{in}}{R}-I(0)=\Delta I$ con una atenuación exponencial de espectro continuo, igual que un LPF a partir de

Δ V = Δ I * R

$\Delta V=\Delta I*R$ con un punto de ruptura @ ω=L/R luego atenuando 20dB/década. Comience con la ecuación del tiempo exponencial.

Respuestas (1)

Usando la transformada de Fourier para resolver la corriente en un circuito con condición inicial

¿Es la fuente de voltaje un escalón unitario? Si es así, la transformada de Fourier está mal. Además, la ecuación KVL tiene un signo incorrecto.
@Chu: la fuente de voltaje es una fuente de CC, sí, la señal es un error. Lo corregiré ahora.
El espectro de Fourier de corriente en el voltaje en la resistencia debe ser $\dfrac{V_{in}}{R}-I(0)=\Delta I$ con una atenuación exponencial de espectro continuo, igual que un LPF a partir de $\Delta V=\Delta I*R$ con un punto de ruptura @ ω=L/R luego atenuando 20dB/década. Comience con la ecuación del tiempo exponencial.

robert bristow-johnson · Answer 1

En primer lugar, la Transformada de Laplace y la Transformada de Fourier surgen del mismo cuerpo de agua. Son más o menos lo mismo, y si tiene condiciones comunes al usar cualquiera, son lo mismo con $s=j\omega$ . la transformada unilateral de Laplace es mejor para problemas de circuito que se definen solo para $t \ge 0$ y tienen condiciones iniciales porque hay un mecanismo conveniente para tratar con esas condiciones iniciales en $t=0$ con la transformada unilateral de Laplace.

La transformada de Laplace bilateral es más parecida a la transformada de Fourier (que siempre tiene una definición bilateral) con la sustitución de $s=j\omega=j2\pi f$ .

Dicho esto, el problema anterior solo puede resolverse con la transformada de Fourier si el circuito, que está completamente "relajado" (teniendo todas las condiciones iniciales iguales a cero) en $t=0$ , se modela como impulsado por un escalón unitario de 1 voltio, en lugar de una entrada constante de 1 voltio. Si el circuito anterior estuvo conectado a 1 voltio todo el tiempo, no hay forma de que la corriente inicial, $i(0)$ puede ser cualquier otra cosa que $i(0) = \frac{1 \text{V}}{R}$ . Si $i(0)$ es igual a cualquier otra cosa que no sea eso, debe representar la entrada como una función de paso.

Luego, el otro problema con la Transformada de Fourier que Laplace realmente no tiene, es que la Transformada de Fourier no converge bien para el escalón unitario. Mediante un método indirecto se puede inferir el FT de un escalón unitario, pero es natural con el de Laplace. Entonces, con el FT tendrías que representar el escalón unitario como un caso límite de una función que tiene un FT legítimo:

tu (t) = \underset{τ \to + \infty}{límite} {\begin{cases} {mi}^{- t / τ} & si t \geq 0 \\ 0 & si t < 0 \end{cases}

$u(t) = \lim_{\tau \to +\infty} \begin{cases} e^{-t/\tau} \qquad & \text{ if } t \ge 0 \\ 0 & \text{ if } t < 0 \\ \end{cases}$

por un finito $\tau$ , que tiene un FT legítimo y puede resolver este sistema usando el FT para un finito $\tau$ , obtenga una respuesta y luego deje $\tau$ ir a $\infty$ .

Había considerado agregar que Laplace transforma el trabajo con condiciones iniciales conocidas mucho más fácilmente. Pero tú has dicho eso, y probablemente mejor de lo que yo lo hubiera hecho. Buen material. +1.
Gracias. Tengo dos preguntas relacionadas con esto. 1. Dijiste que si tienes condiciones comunes, usa cualquiera de las dos. ¿Qué se entiende por condiciones comunes aquí? ¿Es la condición de convergencia? 2. Dicho esto, el problema anterior solo puede resolverse con la transformada de Fourier si el circuito, que está completamente "relajado" (teniendo todas las condiciones iniciales iguales a cero) en t=0, se modela como impulsado por un escalón unitario de 1 voltio, en lugar de una entrada constante de 1 voltio. ¿Cuál es la razón por la que Fourier solo funciona con todas las condiciones iniciales iguales a cero?
1. un ejemplo sencillo: $X (t) = {\begin{cases} {mi}^{- t / τ} & si t \geq 0 \\ 0 & si t < 0 \end{cases}$ $x(t) = \begin{cases} e^{-t/\tau} \qquad & \text{ if } t \ge 0 \\ 0 & \text{ if } t < 0 \\ \end{cases}$ tiene, con $s = \sigma + j \omega$ la misma transformada de Laplace de un lado y la misma transformada de Laplace de dos lados y la misma transformada de Fourier con $\sigma=0$ . es claro que las definiciones de los tres son exactamente las mismas si a) el argumento $x(t)=0$ para todos $t<0$ y si las integrales convergen en los tres casos. (para el escalón unitario donde $x(t) = u(t)$ , la integral de Fourier no converge sin algunos gestos tontos.)
2. La transformada de Laplace de dos caras se puede expresar con dos integrales: $X (s) = \underset{ϵ \to 0}{límite} \int_{- \infty}^{- ϵ} X (t) {mi}^{- s t} d t + \int_{- ϵ}^{\infty} X (t) {mi}^{- s t} d t$ $X(s) = \lim_{\epsilon \to 0} \int\limits_{-\infty}^{-\epsilon} x(t) \, e^{-st} \, dt + \int\limits_{-\epsilon}^{\infty} x(t) \, e^{-st} \, dt$ como $\epsilon>0$ tiende a cero, la integral de la derecha es simplemente la transformada unilateral de Laplace y la integral de la izquierda abarca toda la actividad de $x(t)$ para $t<0$ . es el término de la izquierda el que establece las condiciones iniciales y si ese término puede ser reemplazado por valores equivalentes, así es como el Laplace unilateral incorpora las condiciones iniciales.
y las condiciones iniciales no tienen que ser cero para usar el FT, pero debe tener en cuenta las condiciones iniciales distintas de cero correctamente.
Supongamos que la fuente de voltaje en el circuito simple anterior es una función escalón unitario y la condición inicial para la corriente es $i(0)$ . Por KVL: -u(t) + L*di/dt + Ri = 0 y luego haga la transformada de Fourier de esa ecuación. (u(t) es una función escalón unitario) Sin embargo, no veo cómo dar cuenta de la condición inicial aquí. ¿Cómo incluir la condición inicial usando la transformada de Fourier para resolver esa ecuación diferencial en este caso específico?
para que la corriente inicial sea $i(0) \ne 0$ , entonces el voltaje aplicado desde hace mucho tiempo hasta $t=0$ tendria que ser la constante $i(0)R$ . entonces si el voltaje de entrada cambia repentinamente de $i(0)R$ a $1 \text{ V}$ en el momento $t=0$ , entonces el voltaje de entrada es $v (t) = i (0) R + (1 V - i (0) R) tu (t)$ $v(t) = i(0)R + (1\text{V} - i(0)R) u(t)$ dónde $u(t)$ es la función escalón unitario. pero, dado que es Fourier y no Laplace, debe representar su paso unitario como un límite, como lo mostré arriba en la respuesta.

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