Serie de Fourier de seno modificado

Esto es demasiado largo para un comentario. También necesitaba el espacio extra. Siéntete libre de comentar cualquier cosa.

Lo que realmente estás preguntando es si el cálculo se hace con T/8 o T/4 o T/2. La cuestión es que la señal tiene un período de T/2, por lo que ese es el valor que debe usar. Ahora, también debemos tener en cuenta el intervalo de tiempo en el que la señal es 0. Para hacerlo, debemos definir la señal correctamente.

Lo primero que debes hacer es describir la señal, es decir:

$$f(t)=\left\{\begin{array}{ccc}\Biggl|A\sin\Bigl(2\pi\frac{4}{T}t\Bigr)\Biggr|&&t\in\biggl(0+k\frac{T}{2},\frac{T}{4}+k\frac{T}{2}\biggr),\,k\in\mathbf{Z}\\0&&t\in\biggl(\frac{T}{4}+k\frac{T}{2},\frac{T}{2}+k\frac{T}{2}\biggr),\,k\in\mathbf{Z} \end{array}\right.$$

Tenga en cuenta que la sinusoide tiene amplitud A y período T/4, pero el segundo semiperíodo es positivo (por lo que usamos el valor absoluto).

La expresión para f(t) es la misma que:

$$f(t)=\left\{\begin{array}{ccc}A\sin\Bigl(2\pi\frac{4}{T}t\Bigr)&&t\in\biggl(0+k\frac{T}{2},\frac{T}{8}+k\frac{T}{2}\biggr),\,k\in\mathbf{Z}\\-A\sin\Bigl(2\pi\frac{4}{T}t\Bigr)&&t\in\biggl(\frac{T}{8}+k\frac{T}{2},\frac{T}{4}+k\frac{T}{2}\biggr),\,k\in\mathbf{Z}\\0&&t\in\biggl(\frac{T}{4}+k\frac{T}{2},\frac{T}{2}+k\frac{T}{2}\biggr),\,k\in\mathbf{Z} \end{array}\right.$$ Recuerda eso $$c_n=\frac{1}{P}\int_{t_0}^{P+t_0}f(t)e^{-2\pi j \frac{n}{P}t}\,dt$$

En nuestro caso, P es el período (P=T/2), j es la unidad imaginaria y t_0 es el instante inicial (digamos t_0=0). Entonces,

$$\begin{array}{rcl} c_n=\frac{2}{T}\int_{0}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-2\pi j \frac{2n}{T}t}\,dt&=&I_1+I_2+I_3 \end{array}$$ donde solo calcularé I_1 para que la idea funcione: $$\begin{array}{rcl} I_1&=&\frac{2}{T}\int_0^{\frac{T}{8}}A\sin\Bigl(\frac{8\pi}{T}t\Bigr)e^{-2\pi j\frac{2n}{T}t}\,dt\\ &=&\frac{2A}{T}\int_0^{\frac{T}{8}}\frac{e^{j\frac{8\pi}{T}t}-e^{-j\frac{8\pi}{T}t}}{2j}\cdot e^{- j\frac{4\pi n}{T}t}\,dt\\ &=&\frac{A}{jT}\int_0^{\frac{T}{8}}e^{j\frac{8\pi}{T}t}e^{-j\frac{4\pi n}{T}t}\,dt-\frac{A}{2j}\int_0^{\frac{T}{8}}e^{-j\frac{8\pi}{T}t}e^{-j\frac{4\pi n}{T}t}\,dt\\ &=&\frac{A}{jT}\Biggl( \frac{T}{8\pi-4\pi n}e^{j2\pi\frac{2-n}{T}t}\Biggr|_{0}^{\frac{T}{8}}-\frac{T}{-8\pi-4\pi n}e^{-j2\pi\frac{2+n}{T}t}\Biggr|_{0}^{\frac{T}{8}}\Biggr)\\ &=&\frac{A}{jT}\Biggl( \frac{T}{8\pi-4\pi n}(e^{j2\pi\frac{2-n}{T}\frac{T}{8}}-1)+\frac{T}{8\pi+4\pi n}(e^{-j2\pi\frac{2+n}{T}\frac{T}{8}}-1)\Biggr)\\ &=&\frac{A}{j}\Biggl( \frac{1}{8\pi-4\pi n}(e^{j\pi\frac{2-n}{4}}-1)+\frac{1}{8\pi+4\pi n}(e^{-j\pi\frac{2+n}{4}}-1)\Biggr)\\ &&\\ I_2&=&\frac{2}{T}\int_{\frac{T}{8}}^{\frac{T}{4}}-A\sin\Bigl(\frac{8\pi}{T}t\Bigr)e^{-j\frac{4\pi n}{T}t}\,dt\\ &=&...\\ &&\\ I_3&=&\frac{2}{T}\int_{\frac{T}{4}}^{\frac{T}{2}}0e^{2\pi j\frac{2n}{T}t}\,dt\\ &=&0 \end{array}$$

Creo que esto es todo lo que necesitas para corregir tus cálculos ahora... ¡Buena suerte!