Colector de inclusión equipado con métrica FLRW

Está considerando un espacio 3D, de métrica euclidiana en coordenadas cilíndricas:

$$\tag{1} ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 = dr^2 + r^2 \, d\varphi^2 + dz^2.$$ Ahora introduce una superficie en ese espacio, de altura$z = f(r)$(suponiendo isotropía en el$x \, y$avión). Entonces$dz = f^{\prime} \, dr$y (1) se convierte en $$\tag{2} ds^2 = (1 + f^{\prime \, 2}) \, dr^2 + r^2 \, d\varphi^2.$$ Desea que esta métrica coincida con la métrica FLRW, en caso de$\theta = \frac{\pi}{2}$: $$\tag{3} ds^2 = \frac{1}{1 - k r^2} \, dr^2 + r^2 \, d\varphi^2.$$ Por lo tanto, debe imponer la siguiente ecuación diferencial (suponiendo que$k = 1$. es banal para$k = 0$y no hay solución para$k = -1$con métrica (1)): $$\tag{4} \frac{df}{dr} = \pm \, \frac{r}{\sqrt{1 - r^2}}.$$ Esto impone$f(r) = C \mp \sqrt{1 - r^2}$. Puede elegir el signo negativo y$C = 1$, entonces$z(r) = 1 - \sqrt{1 - r^2}$para$0 \le r < 1$(entonces$z(0) = 0$y$z(1) = 1$).

Observe que esta superficie es la mitad de una esfera de radio 1 y centrada en$z_c = 1$, en el espacio euclidiano 3D:

$$\tag{5} x^2 + y^2 + (z - 1)^2 = r^2 + (z - 1)^2 = 1.$$ Esta esfera incrustada corresponde a la geometría asociada al parámetro de curvatura del espacio$k = 1$.

Para$k = -1$, necesita una métrica pseudo-euclidiana en lugar de (1) anterior.