Solución de la cuerda cósmica a la relatividad general

Question

Solución de la cuerda cósmica a la relatividad general

Cham

Tengo dificultades para finalizar una resolución de la ecuación de Einstein para una cuerda cósmica estática. Comienzo con el siguiente ansatz métrico , para una cadena recta estática orientada a lo largo del $z$ dirección. Usando coordenadas cilíndricas:

\begin{matrix} (1) & d s^{2} = {PAG}^{2} (r) d t^{2} - d r^{2} - q^{2} (r) d ϑ^{2} - d z^{2} . \end{matrix}

$\tag{1} ds^2 = \mathcal{P}^2(r) \, dt^2 - dr^2 - \mathcal{Q}^2(r)\, d\vartheta^2 - dz^2.$ Conectar esta métrica en la ecuación de Einstein da las siguientes ecuaciones, después de algunas páginas de cálculos (estoy usando el

η = (1, - 1, - 1, - 1)

$\eta = (1, -1, -1, -1)$ convención y

G_{a b} = - κ T_{a b}

$G_{ab} = -\, \kappa T_{ab}$ . Los índices están asociados a los marcos inerciales locales "planos"):

\begin{aligned} (2) & {GRAMO}_{00} & = \frac{q^{''}}{q} = - k T_{00} = - k ρ, \\ (3) & {GRAMO}_{11} & = - \frac{{PAG}^{'} q^{'}}{PAG q} = - k T_{11} = 0, \\ (4) & {GRAMO}_{22} & = - \frac{{PAG}^{''}}{PAG} = - k T_{22} = 0, \\ (5) & {GRAMO}_{33} & = - \frac{{PAG}^{''}}{PAG} - \frac{{PAG}^{'} q^{'}}{PAG q} - \frac{q^{''}}{q} = - k T_{33} = + k τ . \end{aligned}

$\begin{align} G_{00} &= \frac{\mathcal{Q}^{\prime \prime}}{\mathcal{Q}} = -\, \kappa T_{00} = -\, \kappa \rho, \tag{2} \\[1ex] G_{11} &= -\, \frac{\mathcal{P}^{\prime} \mathcal{Q}^{\prime}}{\mathcal{P} \mathcal{Q}} = -\, \kappa T_{11} = 0, \tag{3} \\[1ex] G_{22} &= -\, \frac{\mathcal{P}^{\prime \prime}}{\mathcal{P}} = -\, \kappa T_{22} = 0, \tag{4} \\[1ex] G_{33} &= -\, \frac{\mathcal{P}^{\prime \prime}}{\mathcal{P}} - \frac{\mathcal{P}^{\prime} \mathcal{Q}^{\prime}}{\mathcal{P} \mathcal{Q}} - \frac{\mathcal{Q}^{\prime \prime}}{\mathcal{Q}} = -\, \kappa T_{33} = +\, \kappa \tau. \tag{5} \end{align}$ Aquí,

ρ > 0

$\rho > 0$ y

σ = - τ < 0

$\sigma = -\, \tau < 0$ son la densidad de energía y la tensión de la cuerda, respectivamente. Ahora, (2) implica

Q^{'} \neq 0

$\mathcal{Q}^{\prime} \ne 0$ , entonces (3) y (4) dan

P^{'} = 0

$\mathcal{P}^{\prime} = 0$ y

P^{''} = 0

$\mathcal{P}^{\prime \prime} = 0$ . Entonces (5) implica

τ = ρ

$\tau = \rho$ , lo cual es bueno para una cadena relativista. Entonces, el problema comienza cuando intento resolver (2). Esperaba una cuerda delgada, por lo que un delta de Dirac para la densidad

ρ

$\rho$ . Pero (2) sugiere otra solución y no esperaba esto. Suponiendo una densidad constante

ρ = ρ_{0}

$\rho = \rho_0$ para

r < R

$r < R$ (el radio de la cuerda) y

ρ = 0

$\rho = 0$ para

r > R

$r > R$ , Yo obtengo

\begin{matrix} (6) & q^{''} + k ρ_{0} q = 0. \end{matrix}

$\tag{6} \mathcal{Q}^{\prime \prime} + \kappa \rho_0 \, \mathcal{Q} = 0.$ Entonces esta es una ecuación armónica que tiene la solución general (escribo

λ \equiv \sqrt{κ ρ_{0}}

$\lambda \equiv \sqrt{\kappa \rho_0}$ para simplificar las cosas)

\begin{matrix} (7) & q (r) = α pecado (λ r) + β porque (λ r) . \end{matrix}

$\tag{7} \mathcal{Q}(r) = \alpha \sin(\lambda r) + \beta \cos(\lambda r).$ Para la métrica exterior:

ρ = 0

$\rho = 0$ , (2) se reduce a

Q^{''} = 0

$\mathcal{Q}^{\prime \prime} = 0$ , que tienen solución

Q (r) = a r + b

$\mathcal{Q}(r) = a r + b$ . Coincidencia de la solución en

r = R

$r = R$ da

\begin{matrix} (8) & q (R) = α pecado (λ R) + β porque λ R = a R + b . \end{matrix}

$\tag{8} \mathcal{Q}(R) = \alpha \sin(\lambda R) + \beta \cos{\lambda R} = a R + b.$ Entonces mi problema es encontrar las constantes.

α

$\alpha$ ,

β

$\beta$ ,

a

$a$ y

b

$b$ (¡cuatro constantes!), de las condiciones de regularidad y unión.

EDITAR: De las respuestas de AVS y Michael a continuación, debería aplicar la regularidad en $r = 0$ :

\begin{aligned} (9) & q_{En t} (0) & = 0, \\ (10) & q_{En t}^{'} (0) & = 1. \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{Q}_{\text{int}}(0) &= 0, \tag{9} \\[1ex] \mathcal{Q}_{\text{int}}^{\prime}(0) &= 1. \tag{10} \end{align}$ Esto da

α = λ^{- 1}

$\alpha = \lambda ^{-1}$ y

β = 0

$\beta = 0$ , entonces

\begin{matrix} (11) & q_{En t} (r) = \frac{1}{λ} pecado (λ r) . \end{matrix}

$\tag{11} \mathcal{Q}_{\text{int}}(r) = \frac{1}{\lambda} \, \sin(\lambda r).$ Esto esta bien. Pero luego impongo la unión en la superficie de la cuerda. Aparentemente, hay una sutileza que no entiendo aquí. De acuerdo con algunos papeles oscuros que he encontrado, la coordenada radial

r

$r$ no es lo mismo en el lado interior y en el exterior de la cuerda, por lo que

R_{int} \neq R_{ext}

$R_{\text{int}} \ne R_{\text{ext}}$ :

\begin{aligned} (12) & q_{En t} (R_{En t}) & = q_{extensión} (R_{extensión}), \\ (13) & q_{En t}^{'} (R_{En t}) & = q_{extensión}^{'} (R_{extensión}) . \end{aligned}

$\begin{align} \mathcal{Q}_{\text{int}}(R_{\text{int}}) &= \mathcal{Q}_{\text{ext}}(R_{\text{ext}}), \tag{12} \\[1ex] \mathcal{Q}_{\text{int}}^{\prime}(R_{\text{int}}) &= \mathcal{Q}_{\text{ext}}^{\prime}(R_{\text{ext}}). \tag{13} \end{align}$ Esto da las siguientes condiciones de unión:

\begin{aligned} (13) & \frac{1}{λ} pecado (λ R_{En t}) & = a R_{extensión} + b, \\ (14) & porque (λ R_{En t}) & = a . \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{\lambda} \, \sin(\lambda R_{\text{int}}) &= a R_{\text{ext}} + b, \tag{13} \\[1ex] \cos(\lambda R_{\text{int}}) &= a. \tag{14} \end{align}$ No puedo resolver este sistema de ecuaciones sin una restricción adicional (??). Me sale la relacion de algun papel si me impongo

b = 0

$b = 0$ entonces

\begin{matrix} (15) & R_{extensión} = \frac{1}{λ} broncearse (λ R_{En t}) . \end{matrix}

$\tag{15} R_{\text{ext}} = \frac{1}{\lambda} \, \tan(\lambda R_{\text{int}}).$ Definición de la energía por unidad de longitud

μ = ρ_{0} A_{int}

$\mu = \rho_0 A_{\text{int}}$ , Yo obtengo

a = 1 - 4 G μ

$a = 1 - 4 G \mu$ , que se relaciona con el déficit de ángulo.

Pero como puedo justificar eso $b = 0$ y que la coordenada radial no es la misma en ambos lados de la superficie de la cuerda? ¿Por qué no puedo simplemente usar $R_{\text{int}} = R_{\text{ext}} = R$ , y luego encuentra $a$ y $b \ne 0$ ?

Un documento "oscuro" que muestra algunos detalles (¡con una notación rara y molesta!), sin explicar las diferentes coordenadas radiales y por qué. $b$ debe ser 0. Ver expresiones (6), (7), (8), en la página 2:

https://arxiv.org/abs/hep-th/0107026

Véanse también las páginas 3 y 4 de este documento:

https://arxiv.org/abs/gr-qc/9508055

TimRias

No tengo tiempo para escribir una respuesta adecuada. Pero la respuesta debe seguirse de imponer regularidad en

r = 0

$r=0$ y condiciones de unión en

r = R

$r=R$ .

Michael Seifert

Puede que no sea un problema de tarea en una clase que estás tomando en este momento, pero sigue siendo un ejercicio bastante estándar. Lo asigné en la clase GR de pregrado que enseñé la primavera pasada.

Cham

@MichaelSeifert, bueno, ni siquiera estoy tomando una "clase". ¡Estoy estudiando este tema por mi cuenta, para agregarlo a mis notas para una clase futura! ;-)

magma

su ansatz no parece correcto. el término

Q^{2} (r) ϑ^{2}

$\mathcal{Q}^2(r)\, \vartheta^2$ no tiene diferencial. También dices que usas coordenadas polares, pero probablemente te refieres a coordenadas cilíndricas.

Michael Seifert

Con respecto a sus ediciones más recientes, probablemente debería hacer una nueva pregunta sobre ellas y vincular a los documentos que hacen esas afirmaciones (o incluir extractos de ellos, si son realmente oscuros).

Cham

@MichaelSeifert, he agregado un enlace a un documento "oscuro". Hacer una nueva pregunta produciría algunos duplicados, ya que es esencialmente la misma pregunta que antes.

Cham

¿Por qué la votación cerrada?

Respuestas (2)

Solución de la cuerda cósmica a la relatividad general

No tengo tiempo para escribir una respuesta adecuada. Pero la respuesta debe seguirse de imponer regularidad en $r=0$ y condiciones de unión en $r=R$ .
Puede que no sea un problema de tarea en una clase que estás tomando en este momento, pero sigue siendo un ejercicio bastante estándar. Lo asigné en la clase GR de pregrado que enseñé la primavera pasada.
@MichaelSeifert, bueno, ni siquiera estoy tomando una "clase". ¡Estoy estudiando este tema por mi cuenta, para agregarlo a mis notas para una clase futura! ;-)
su ansatz no parece correcto. el término $\mathcal{Q}^2(r)\, \vartheta^2$ no tiene diferencial. También dices que usas coordenadas polares, pero probablemente te refieres a coordenadas cilíndricas.
Con respecto a sus ediciones más recientes, probablemente debería hacer una nueva pregunta sobre ellas y vincular a los documentos que hacen esas afirmaciones (o incluir extractos de ellos, si son realmente oscuros).
@MichaelSeifert, he agregado un enlace a un documento "oscuro". Hacer una nueva pregunta produciría algunos duplicados, ya que es esencialmente la misma pregunta que antes.

Michael Seifert · Answer 1

Michael Seifert

Como señaló @mmeent en los comentarios, la métrica debe ser regular en el origen. Esto significa, en particular, que

q (r) \approx r

$\mathcal{Q}(r) \approx r$ en el limite

r \to 0

$r \to 0$ . De manera equivalente, debemos tener

Q (0) = 0

$\mathcal{Q}(0) = 0$ y

Q^{'} (0) = 1

$\mathcal{Q}'(0) = 1$ . Además, las componentes métricas y sus primeras derivadas deben ser continuas en el límite

r = R

$r = R$ .

Así tenemos cuatro ecuaciones (dos de regularidad en el origen, dos de continuidad en el límite) en las cuatro incógnitas $\alpha$ , $\beta$ , $a$ , y $b$ . Tomar desde allí.

Cham

Sus condiciones de unión no dan el ángulo de déficit correcto (a menos que me esté perdiendo algo). da

q_{En t} (r) = \frac{1}{λ} pecado (λ r),

$\mathcal{Q}_{\text{int}}(r) = \frac{1}{\lambda} \, \sin(\lambda r),$ que parece correcto, y

q_{extensión} (r) = (r - R) porque (λ R) + \frac{1}{λ} pecado (λ R),

$\mathcal{Q}_{\text{ext}}(r) = (r - R) \cos(\lambda R) + \frac{1}{\lambda} \, \sin(\lambda R),$ que creo que está mal. No es lo "normal"

q_{extensión} (r) = (1 - 4 GRAMO m) r

$\mathcal{Q}_{\text{ext}}(r) = (1 - 4 G \mu) \, r$ que pude encontrar en muchos papeles (tengo

\cos (λ R) = 1 - 4 G μ

$\cos(\lambda R) = 1 - 4 G \mu$ del área de la sección transversal de la cuerda gruesa). ¿Tengo que hacer el límite?

R \to 0

$R \rightarrow 0$ ?

Cham

Por favor, ¿confirmas las expresiones de mi mensaje anterior? ¿Debo tomar un límite para recuperar el ángulo de déficit presentado en muchos artículos?

Michael Seifert

@Cham: creo que la solución estándar supone que

λ R ≪ 1

$\lambda R \ll 1$ , Sí.

Cham

Es extraño que la solución de la cuerda gruesa involucre una función trigonométrica - oscilante - sin. En el interior, cuando

r

$r$ aumenta, la función

Q (r)

$\mathcal{Q}(r)$ es oscilante (a menos que impongamos la restricción

λ R < \frac{π}{2}

$\lambda R < \dfrac{\pi}{2}$ ).

Michael Seifert

@Cham: Si

Q \to 0

$\mathcal{Q} \to 0$ , entonces tiene una singularidad coordinada (y posiblemente una real, no estoy seguro). Lo mismo sucede en la solución de Schwarzschild en el horizonte de eventos.

AVS · Answer 2

Primero , me parece que el ansatz $(1)$ para esta métrica de cuerda cósmica gruesa es incorrecta, ya que para un general $\mathcal{P}(r)$ la métrica carece de la $SO(1,1)$ invariancia bajo impulsos a lo largo de la dirección de la cuerda, es decir, transformaciones de Lorentz en $(t,z)$ avión.

Mi sugerencia:

\begin{matrix} (1*) & d s^{2} = {PAG}^{2} (r) (d t^{2} - d z^{2}) - d r^{2} - q^{2} (r) d ϑ^{2} . \end{matrix}

$\tag{1*} ds^2 = \mathcal{P}^2(r) \,( dt^2 - dz^2) - dr^2 - \mathcal{Q}^2(r)\,d \vartheta^2 .$

Tanto OP como mis métricas se reducen a lo mismo si la condición $\mathcal{P}\equiv 1$ se impone (lo que sucede si el estrés $T_{rr}$ y $T_{\theta\theta}$ son cero). Sin embargo, si $\mathcal{P}$ varía con $r$ en la versión de OP, esta simetría de impulso desaparece. Entonces, el ansatz de OP no funcionaría para una cadena gruesa que es (por ejemplo) una solución del sistema Einstein-Abelian Higgs.

segundo _ La elección correcta de las constantes es $\alpha=1/\lambda$ , $\beta=0$ (mientras $b\ne 0$ ). Esto se sigue de

la interpretación de $r$ como distancia desde el eje de simetría (que sería $r=0$ ) a lo largo de la dirección radial (por lo que en $r=0$ la métrica debe tener singularidad coordinada, por lo que $\mathcal{Q}(0)=0$ );
cerca del eje de simetría no debe haber déficit de ángulo adicional. Si $\alpha\ne 1/\lambda$ ¡Habría una cuerda delgada dentro de la cuerda gruesa!

Las constantes restantes $a$ y $b$ se obtienen a partir de las condiciones de continuidad de $\mathcal{Q}$ y $\mathcal{Q}'$ a través del límite $r=R$ . Si $\mathcal{Q}'$ saltos entonces esto correspondería a un tensor de energía-tensión superficial distinto de cero del cilindro.

Como una variación interesante de la cuerda gruesa, sugiero la métrica de un "solenoide relativista": la métrica interna es el espacio-tiempo de Melvin (con un campo magnético a lo largo del $z$ –eje) y con tensor de energía de tensiones en función de $r$ como esto: $T^{\mu}_{\nu}=\rho(r)\,\mathop{\mathrm{diag}}(1,1,-1,-1)$ , mientras que afuera es un espacio-tiempo plano con déficit de ángulo. En la superficie de un cilindro entonces habría una densidad de energía y tensiones superficiales distribucionales y actuales. Para tal métrica la función $\mathcal{P}(r)$ no sería constante.

Después de pensarlo más, todavía no entiendo tu ansatz invariante de Lorentz. El marco de referencia adecuado de la cadena define un marco privilegiado que puede destruir la invariancia de Lorentz de la métrica, por lo que no veo ningún problema en el ansatz (1) de mi pregunta (mientras que al final nos queda lo mismo desde $\mathcal{P} = 1$ ).
Esta no es la invariante de Lorentz sino la invariante SO(1,1) (en realidad ISO(1,1)), ya que solo $(z,t)$ el plano se transforma. No veo ningún problema en el ansatz (1) de mi pregunta. El problema es que no es muy general. Más general debe tener $\mathcal{B}(r)^2 dz^2$ en vez de $dz^2$ y no puedes justificar $\mathcal{B}=1$ por una cuestión general de la cuerda gruesa.
Bueno, evidentemente, la métrica $ds^2 = \mathcal{P}^2(r) dt^2 - dr^2 - \mathcal{Q}^2(r) d\vartheta^2 - \mathcal{B}^2(r) dz^2$ es más general, pero también hace que los cálculos sean mucho más complicados. Por definición, un ansatz es una especie de "conjetura" para encontrar soluciones. No veo ningún problema en limitarnos a $\mathcal{B}(r) = 1$ solo para simplificar las cosas.
La función $\mathcal{P}^2(r)$ delante de $dt^2$ es natural ya que esperaríamos que el tiempo se ralentizara cerca de la cuerda. Es menos obvio por qué debería haber $\mathcal{B}^2(r)$ delante de $dz^2$ ,
un ansatz es una especie de "suposición" ... Sí, obtuvo una solución correcta de su suposición, pero solo después de "suposiciones" adicionales que $\rho=\tau$ y las presiones transversales están ausentes. Con el ansatz más general, las restricciones sobre el tensor tensión-energía son mínimas. Por otra parte si asumimos $\rho=\tau$ y las presiones transversales están ausentes desde el principio, entonces $\mathcal{P}=\mathcal{B}=1$ sigue inmediatamente y los cálculos son aún más simples.
Tiene razón, cometí un "error de razonamiento" debido a una restricción muy fuerte (probablemente poco realista): supuse desde el principio que el tensor de tensión-energía no tenía ninguna presión transversal, como para una cuerda delgada . no asumí $\tau = \rho$ aunque desde el principio. Salió automáticamente de las ecuaciones, debido a esa suposición. Acabo de comprobar que las ecuaciones son inconsistentes si la presión transversal no es 0. En ese caso, necesitamos $\mathcal{B}(r) \ne 1$ .
Al menos, mi procedimiento como la virtud de mostrar que la presión transversal pide explícitamente que $\mathcal{B}$ ¡función!
¿Podría por favor explicar lo que quiere decir con $SO(1,1)$ ¿simetría? Esta notación puede no ser realmente estándar para todos.
@magma: $SO(1,1)$ simetría aquí son impulsos de Lorentz a lo largo de la $z$ dirección, es decir, transformación de la forma $z'=z \cosh \psi + t \sinh \psi$ , $t'=t \cosh \psi + z \sinh \psi$ . Si además añadimos desplazamientos no homogéneos para $t$ y $z$ la simetria seria $ISO(1,1)$ . Esta transformación deja $dt^2-dz^2$ sin cambios, por lo que mi ansatz (1 *) es invariable debajo de él para una función arbitraria $\mathcal{P}(r)$ , mientras que la ecuación de OP (1) es invariante solo para $\mathcal{P}\equiv 1$ . Sobre lo que implica esta simetría para una cuerda cósmica, vea mi respuesta aquí .

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