Congruencias de números de Fibonacci/Lucas

Tengo una prueba fácil de su congruencia. Solo uso las siguientes relaciones.$L_{n+1}=L_n+L_{n-1},\ L_{2n}=L_n^2-2(-1)^n, L_n^2=5F_n^2+4(-1)^n$. Proceder de la siguiente:$L_{2n+1}=L_{2(n+1)}-L_{2n}=L_{n+1}^2-L_n^2+4(-1)^n=$ $=5(F_{n+1}^2-F_n^2)+4(-1)^{n+1}-4(-1)^n+4(-1)^n=5F_{n+2}(F_{n+1}-F_n)-4(-1)^n$.

Por lo tanto$L_{2n+1}\pm 5(F_{n+2}+1)\equiv (-1)^n (mod\ 10)$es equivalente a$5F_{n+2}(F_{n+1}-F_n\pm 1)\equiv 5(-1)^n \mp 5 \equiv 0(mod\ 10)$.

Solo tenemos que demostrar que$(F_{n+1}-F_n\pm 1)F_{n+2}$es par, lo cual es claro, porque$F_{n+2}\equiv F_{n+1}-F_n (mod\ 2)$.

Es posible que desee echar un vistazo a los números de Fibonacci con aplicaciones de Thomas Koshy , si tiene acceso a una biblioteca que lo tenga.