Lógica de definir una función en un conjunto abstracto

Creo que te estás confundiendo al preocuparte por lo que sabes o por lo que se ha definido explícitamente en lugar de simplemente preocuparte por lo que es verdad . Dices eso para probar que$\varphi$es una función, empiezas por "asumir un grupo$G$dado". Tal vez la palabra "dado" te confunde, así que dejémosla fuera. Para probar que$\varphi$es una función, se empieza suponiendo que$G$es un grupo y luego probar que hay una función única que se ajusta a la descripción de$\varphi$. Si o no$G$ha sido dado no tiene nada que ver con si o no$\varphi$es una función

Por supuesto, en un contexto en el que se habla de un grupo$G$que no se ha especificado explícitamente, es posible que no sepa cuáles son los elementos de$G$son, y es posible que no sepa cómo calcular$\varphi(g)$para cualquier$g \in G$. Pero lo que sabe, o lo que puede calcular, no es el problema. La cuestión es si la definición de$\varphi$define una función única, y lo hace, ya sea que alguien sepa cómo calcular sus valores o no.

Si tienes un conjunto completamente abstracto$X$(es decir, un conjunto cuyos elementos no sabe nada y que no está equipado con ninguna otra estructura), entonces (en la práctica matemática ordinaria, fuera de la teoría formal de conjuntos) hay muy pocas funciones que puede definir en él: esencialmente solo la identidad función en$X$y la función constante$x \mapsto y$para cualquier miembro fijo$y$de algún conjunto$Y$.

Cuando trabajamos con estructuras algebraicas como grupos, a menudo olvidamos en nuestra notación que un grupo comprende un conjunto$G$y alguna información adicional: por ejemplo, el elemento de identidad$e$y la operación de multiplicación$(\cdot)$. En rigor, como has observado en tu pregunta, deberíamos pensar en el grupo como un triple$\mathbf{G} = (G, e, \cdot)$(o tal vez$(G, 0, +)$si$\mathbf{G}$es abeliano). (Aquí, estoy usando una convención común de álgebra universal para usar negrita para el triple$\mathbf{G}$dando la estructura algebraica y la fuente ordinaria para el conjunto$G$de elementos de esa estructura). Así que ahora, si sabes$\mathbf{G}$(en lugar de solo$G$) puedes usar notaciones significativas como$x \mapsto x^2$(si escribe la operación de grupo como$(\cdot)$) o$x \mapsto 2x$(si escribe la operación de grupo como$(+)$) para definir operaciones que funcionan en cualquier grupo. Si revisa el texto de su pregunta, debería poder ver dónde necesita$\mathbf{G}$en lugar de solo$G$para que la notación tenga sentido.

No estoy seguro de haber identificado exactamente sobre qué está confundido OP, pero lo intentaré.

La primera prueba que haremos es la siguiente:

Suponer$(G, +)$es un grupo Entonces hay una función única.$f : G \to G$tal que$f(x) = x + x$para todos$x \in G$.

Con suerte, es fácil ver que esto es cierto. La prueba exacta depende de la base de las matemáticas que estés usando. En la teoría de conjuntos, típicamente definiríamos$f = \{(x, y) \in G^2 | y = x + x\}$y probar que esta es la única función$f : G \to G$tal que$f(x) = x + x$para todos$x \in G$. En una fundación basada en la teoría de tipos y/o el cálculo lambda, simplemente definiríamos$f(x) = x + x$y luego mostrar que esto especifica$f$utilizando únicamente la extensionalidad de la función.

La segunda prueba es la siguiente:

Para todos los grupos$(G, +)$, hay una función única$f : G \to G$tal que$f(x) = x + x$para todos$x \in G$.

Esto se sigue inmediatamente de las reglas de la lógica y de la primera prueba.

Si uno está en el escenario de una estructura algebraica, por ejemplo, un grupo$G$, y uno quiere probar una declaración, por ejemplo$\varphi:G \to G, g \mapsto 2g$es una función, ¿cuál es la lógica detrás de que esto sea cierto para un grupo arbitrario?

En su ejemplo, asumo que tenemos el grupo$(G,*)$, y$~2\in G$. Y que quieres probar que existe una función$\varphi:G \to G$tal que$\forall g\in G: \varphi(g)=2*g$.

Prueba: simplemente construya el conjunto de pares ordenados$\varphi = \{ (a,b)\in G\times G ~\land ~|~ b=2*a\}$. Entonces es trivial demostrar que$\varphi$es la función requerida y podemos escribir, usando la notación de prefijo, que$\forall g\in G: \varphi(g)=2*g$según sea necesario.