Una partícula está conectada a una rueda masiva por una barra rígida. La rueda puede rodar sin resbalar sobre una superficie horizontal. La partícula es libre de girar alrededor del centro de la rueda.
Creo que el sistema tiene dos grados de libertad: el centro de la rueda y la partícula tienen posiciones x e y, y la rueda tiene un ángulo de rotación. Las restricciones son:
¿Es esto correcto?
Esto deja dos coordenadas generalizadas, que he tomado como el ángulo de rotación de la rueda y el ángulo entre la barra y el eje y.
Después de luchar (y fallar) con un enfoque newtoniano, construí un Lagrangiano para el sistema y apliqué la(s) ecuación(es) de Euler-Lagrange, usando los ángulos como coordenadas generalizadas. Después de mucha álgebra, surgieron dos ecuaciones diferenciales no lineales de segundo orden.
Para mi sorpresa, pude eliminar la rotación de la rueda por completo de una ecuación, dejándola relacionada solo con el ángulo de la barra y sus derivados. ¿Cuál es, en todo caso, el significado de esto?
Y finalmente, me gustaría simular la situación computacionalmente. ¿Existe una forma general de simular restricciones rígidas que actúan sobre cuerpos/partículas rígidos, o se deben encontrar y resolver (numéricamente) las ecuaciones diferenciales que gobiernan el sistema?
Un monociclo restringido para moverse en un plano en tres dimensiones es un ejemplo de un sistema mecánico no holonómico, donde las restricciones antideslizantes no se pueden integrar.
Además, es más interesante dar grados de libertad al ciclista para permitirle controlar el monociclo. Este caso más general, fue tratado por: Zenkov Bloch y Marsden . En este tratamiento más general, el monociclo no está restringido a ser vertical y el "piloto" se modela como un disco redondo, cuyo ángulo de rotación se usa como control.
Los autores escriben el Lagrangiano, explícitamente, y no es difícil degenerarlo al caso restringido del movimiento lineal en el plano vertical, si se desea.
En su trabajo Zenkov Bloch y Marsden, describen un método para la estabilización del sistema mediante el control del ángulo de rotación del ciclista.
La ecuación de movimiento de los sistemas mecánicos son sistemas de EDO no lineales que rara vez tienen soluciones exactas. Sin embargo, se puede aprender mucho sobre los sistemas físicos sin resolver las ecuaciones. La regla de control se dedujo en el artículo anterior sin resolver realmente el sistema. Consulte, por ejemplo, las siguientes notas de clase de Darryl Holm.
La importancia de la separabilidad de las ecuaciones diferenciales es simple:
La dificultad que implica equilibrar un monociclo en 2D es independiente de la velocidad a la que vayas. (en 3D, también tienes que equilibrarte de lado, y solo ahí la velocidad de la rueda es útil).
Con respecto a la simulación, no conozco ninguna herramienta de simulación mecánica buena y gratuita, pero resolver las ecuaciones diferenciales no debería ser difícil; primero podría intentar ver si hay una solución analítica y, si no, usar las muchas disponibles. herramientas para resolver ODE's.
Juan Alexiou
xcoordenada del centro de la rueda y el ángulo de la varilla como las dos gen. coordenadas, pero supongo que no importa.