Uso de derivadas de orden superior de cuaterniones en ecuaciones de movimiento

Es común observar la orientación de un cuerpo rígido en términos de un cuaternión que codifica un eje y un ángulo con un vector y un escalar.

$$\boldsymbol{q} = \pmatrix{ \boldsymbol{\hat{z}} \sin\left( \tfrac{\theta}{2} \right) \\ \cos \left( \tfrac{\theta}{2} \right)} \tag{1}$$

y luego es común convertir el vector de velocidad de rotación$\boldsymbol{\vec{\omega}}$en una derivada temporal de la orientación para su uso en integraciones de simulación.

$$\dot{\boldsymbol{q}} = \tfrac{1}{2} \pmatrix{ \boldsymbol{\vec{\omega}} \\ 0 } \boldsymbol{q} \tag{2}$$

$$\ddot{\boldsymbol{q}} = \tfrac{1}{2} \pmatrix{ \boldsymbol{\vec{\alpha}} \\ 0} \boldsymbol{q} + \dot{\boldsymbol{q}} \boldsymbol{q}^{-1} \dot{\boldsymbol{q}} \tag{3}$$

Lo que estoy preguntando es mantener las cantidades angulares en forma de cuaterniones ($\boldsymbol{q}$,$\dot{\boldsymbol{q}}$y$\ddot{\boldsymbol{q}}$) para uso directo en ecuaciones de movimiento y cinemática, derivando los vectores rotacionales regulares de (2) y su derivada (3)

$$\pmatrix{\boldsymbol{\vec{\omega}} \\ 0} = 2 \dot{\boldsymbol{q}} \boldsymbol{q}^{-1} \tag{4}$$ $$\pmatrix{\boldsymbol{\vec{\alpha}} \\ 0} = 2 \left( \ddot{\boldsymbol{q}} - \dot{\boldsymbol{q}} \boldsymbol{q}^{-1} \dot{\boldsymbol{q}} \right) \boldsymbol{q}^{-1} \tag{5}$$

Entonces, el momento angular tendría la forma de

$$\pmatrix{\boldsymbol{\vec{L}} \\ 0} = \mathcal{I}\, \dot{\boldsymbol{q}} \tag{6}$$

con$\mathcal{I}$siendo la forma apropiada de 4×4 haciendo (6) un tipo de cálculo de producto vectorial matricial.

De manera similar, las ecuaciones de movimiento rotacional serían

$$\pmatrix{ \boldsymbol{\vec{\tau}} \\ 0} = \mathcal{I} \ddot{\boldsymbol{q}} + \underbrace{ \boldsymbol{u} }_{\dot{\boldsymbol{q}}\text{ related terms}} \tag{7}$$

En el espíritu de Hamilton, creo que podría haber algún significado en la estructura de$\mathcal{I}$, y me preguntaba si alguien conoce algún trabajo anterior relacionado con esta línea de pensamiento.

Prácticamente sé que lo anterior simplificaría los integradores de cuerpo rígido (manteniendo todos los términos rotacionales en 4 vectores y permitiendo que el álgebra lineal haga lo suyo). Pero creo que esto podría proporcionar una idea del comportamiento de la orientación del cuerpo rígido, al igual que el perfil de las aceleraciones de traslación nos da una idea de las velocidades y los desplazamientos.