Derive el par τ=r×Fτ=r×F\tau = \mathbf{r} \times \mathbf{F} de τ=Iατ=Iα\tau= I\alpha

No siempre es cierto que$\vec{\boldsymbol{\tau}}=I\vec{\boldsymbol{\alpha}}$. La forma general del par es

$$\vec{\boldsymbol{\tau}}=\dfrac{d}{dt}\vec{\boldsymbol{L}}$$ De la definición de momento angular $$\vec{\boldsymbol{L}}=\vec{\boldsymbol{r}}\times \vec{\boldsymbol{p}}$$ da $$\begin{align*} \vec{\boldsymbol{\tau}}&=\dfrac{d}{dt}(\vec{\boldsymbol{r}}\times \vec{\boldsymbol{p}})\\ \vec{\boldsymbol{\tau}}&=\vec{\boldsymbol{r}}\times \dfrac{d\vec{\boldsymbol{p}}}{dt}\\ \end{align*}$$ y de la segunda ley del movimiento de Newton $$\vec{\boldsymbol{F}}=\dfrac{d}{dt}\vec{\boldsymbol{p}}$$ entonces $$\vec{\boldsymbol{\tau}}=\vec{\boldsymbol{r}}\times\vec{\boldsymbol{F}}\;\blacksquare$$

Contexto

Si fuéramos más explícitos, definimos torque sobre algún origen$\mathrm{O}$alrededor de este origen podemos reescribir un elemento de inercia de algún elemento de masa en algún lugar como:

$$\Delta I_{i} = |\vec{r_i}|^2 \Delta m_i$$

Dónde,

$$\Delta I_i \text{ is the inertia of the mass element}$$

$$\Delta{\vec{r_i}} \text{ is the magnitude of position vector from the defined origin O}$$

$$\Delta{ m_i} \text{ is the mass element we are considering}$$

Aunque no podemos aplicar directamente la definición de inercia a todo el sistema, sí podemos aplicar la definición de inercia para una masa puntual a un elemento de masa pequeña. Podemos pensar en reducir el elemento de masa de modo que toda la masa se concentre en una región lo suficientemente pequeña como para que podamos aproximarnos a ella.

Mejor aún, una forma más inteligente sería escribir esta expresión usando densidad. Supongamos que tenemos un objeto con densidad variable$\rho$que depende de$(x,y,z)$entonces podemos decir que la masa de ese elemento en algún volumen n alrededor de la región de inspección está dada por$\rho \Delta V_i$(*). Esto convierte nuestra ecuación a esta forma:

$$\Delta I_i = |r_i|^2 \rho(x,y,z) \Delta V_i$$

Ahora, dado un cuerpo rígido, podemos pensar en dividirlo en pequeños elementos de n volúmenes de$\Delta V_i$y encontrando la inercia de cada uno y sumando eso. Entonces, lo que podemos hacer es sumar todos los elementos de volumen n usando una integral de dimensión n (**).

$$I = \int |r_i|^2 \rho(x,y,z) \Delta V_i$$

El problema en tu publicación:

En el segundo método, tenía un paso en el que había hecho lo siguiente:

$$|r_i|^2 = \vec{r_i} \cdot \vec{r_i}$$

Y habías escrito como:

$$I = \int \vec{r} \cdot \left[ \vec{r_i} \rho(x,y,z) \Delta V_i \right]$$

E integró la cantidad anterior por partes, sin embargo, cuando hace esto, está integrando un campo vectorial ($\int \vec{r} \Delta V_i$) sobre un volumen. Esta operación no tiene ningún sentido por las matemáticas que conozco / puedo encontrar buscando en Google. Lo más parecido que encontré fue esta publicación de quora .

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Referencias:

Para obtener una buena explicación de cómo derivar esto en detalle, consulte Kleppner y Kolenkow en la página 245.

Nota: n-volumen es el tipo de generalización de volumen

CLAVE:

Fuerza radial sobre un punto:m.$\omega^2$r

Fuerza tangencial sobre ella:señor$\alpha$(Par debido a ello :m.$r^2.\alpha$)

Suma sobre todas las partículas para el torque.

$\tau^{net}=\sum[...]=I.\alpha$

Piense si la fuerza radial proporciona o no un par de torsión.