Cinemática de los ángulos de Euler en relación con un marco giratorio

Primer pensamiento (probablemente no el más rápido)
Supongamos que tiene un espacio vectorial en$R^{3}$con un cuaternión definido como:

$$\mathbf{q} = q_{F}^{*} \ q_{B} \\ = a + b \hat{\mathbf{x}} + c \hat{\mathbf{y}} + d \hat{\mathbf{z}}$$

dónde$(a, b, c, d)$son los parámetros de Euler y$(\hat{\mathbf{x}}, \hat{\mathbf{y}}, \hat{\mathbf{z}})$define el conjunto base de la unidad de referencia.

Si definimos el eje de rotación como$\mathbf{n}$y el ángulo a través del cual rotamos como$\zeta$, entonces los parámetros de Euler se definen como:

$$a = \cos{\left( \frac{\zeta}{2} \right)} \\ b = n_{x} \ \sin{\left( \frac{\zeta}{2} \right)} \\ c = n_{y} \ \sin{\left( \frac{\zeta}{2} \right)} \\ d = n_{z} \ \sin{\left( \frac{\zeta}{2} \right)} \\ $$

Así, si sabes$\mathbf{q}$, o mejor$(a, b, c, d)$, puedes encontrar$\mathbf{n}$y$\zeta$. Una vez que conoces el eje de rotación y el ángulo de rotación, puedes determinar los ángulos de Euler . Primero definimos la matriz de productos cruzados como:

$$\left[ \mathbf{n} \right]_{x} = \left[ \begin{array}{ c c c } 0 & - n_{z} & n_{y} \\ n_{z} & 0 & - n_{x} \\ - n_{y} & n_{x} & 0 \end{array} \right]$$

y el producto exterior de$\mathbf{n}$consigo mismo dado por:

$$\left[ \mathbf{n} \otimes \mathbf{n} \right] = \left[ \begin{array}{ c c c } n_{x} \ n_{x} & n_{x} \ n_{y} & n_{x} \ n_{z} \\ n_{y} \ n_{x} & n_{y} \ n_{y} & n_{y} \ n_{z} \\ n_{z} \ n_{x} & n_{z} \ n_{y} & n_{z} \ n_{z} \end{array} \right]$$

Entonces podemos definir la matriz de rotación como:

$$\overleftrightarrow{\mathbf{R}} = \cos{\zeta} \ \overleftrightarrow{\mathbf{I}} + \sin{\zeta} \ \left[ \mathbf{n} \right]_{x} + \left( 1 - \cos{\zeta} \right) \ \left[ \mathbf{n} \otimes \mathbf{n} \right]$$

dónde$\overleftrightarrow{\mathbf{I}}$es la unidad o matriz identidad .

Segundo pensamiento (probablemente más rápido/más fácil)
Un método más fácil es seguir el procedimiento dado aquí . Siguiendo ese procedimiento, definimos:

$$\alpha = \frac{ 2 \left( a \ b + c \ d \right) }{ 1 - 2 \left( b^{2} + c^{2} \right) } \\ \beta = 2 \left( a \ c - d \ b \right) \\ \gamma = \frac{ 2 \left( a \ d + b \ c \right) }{ 1 - 2 \left( c^{2} + d^{2} \right) }$$

lo que nos da los ángulos de Euler:

$$\phi = \tan^{-1}{ \alpha } \\ \theta = \sin^{-1}{ \beta } \\ \psi = \tan^{-1}{ \gamma }$$

Como ya tienes$\mathbf{q}$y puede determinar numéricamente/analíticamente$(\phi, \theta, \psi)$, entonces simplemente tomaría la derivada temporal de cada uno de estos ángulos para encontrar$(\dot{\phi}, \dot{\theta}, \dot{\psi})$en lugar de utilizar las velocidades angulares.