Teorema de los números primos y función zeta de Riemann

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$$\zeta(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$$ Sea la función zeta de Riemann. El hecho de que podamos extender esto analíticamente a todos $\mathbb{C}$y puede encontrar una región libre cero a la izquierda de la línea $Re(s)=1$muestra que $$\pi(x) := |\{p\leq x: p \mbox{ prime }\}| \sim \frac{x}{\log(x)}.$$ Además, mejorar la región libre cero mejora el término de error en $\pi(x)$con la hipótesis de Riemann dándonos el mejor término de error posible.

Sin embargo, hay pruebas elementales de este hecho acerca de$\pi(x)$que no depende del uso$\zeta(s)$. Mi pregunta es, simplemente usando el conocimiento de que

$$\pi(x) = \frac{x}{\log(x)} + ET$$ por algún término de error llamo $ET$, puedes demostrar que $\zeta(s)$se puede continuar analíticamente con una región libre cero a la izquierda de la línea $Re(s)=1$, de donde depende esta región $ET$.

Por ejemplo, si asumes que$ET = x^{1-\epsilon}$para algunos$\epsilon>0$, entonces puedes demostrar que$\zeta(s)$se puede continuar analíticamente a la región$Re(s) > 1-\epsilon$y eso$\zeta(s)$no tiene ceros en esta región?

Cualquier solución o referencia sería muy apreciada.