Cantidad conservada correspondiente a la simetría de reflexión

Conozco el teorema de Noether , pero en realidad no sé cómo usarlo. Supongamos que nuestro universo fuera simétrico con respecto a las reflexiones sobre los planos. ¿Qué cantidad conservada existiría entonces por el teorema de Noether?

Respuestas (1)

El teorema de Noether establece que existe una ley de conservación para cada simetría continua (de hecho, diferenciable). La reflexión es una simetría discreta, por lo que el teorema no es aplicable aquí.

Pero, en mecánica cuántica, tienes el operador de paridad PAG , que refleja las coordenadas

PAG ψ ( r → ) = ψ ( − r → )
Desde PAG 2 = I , el operador PAG tiene valores propios ± 1 . Si el hamiltoniano es invariante bajo reflexión, es decir [ H , PAG ] = 0 , cada función propia del hamiltoniano es también una función propia del operador de paridad con valor propio pag (llamada paridad intrínseca). Entonces, se conserva la paridad intrínseca.

Si tuviéramos simetría de reflexión, entonces tendríamos O ( 3 ) simetría, que es un grupo de Lie.
No, los reflejos son un subgrupo discreto de O ( 3 ) , a saber O ( 3 ) = S O ( 3 ) × { I , − I } es el producto directo del grupo de rotaciones (que es el grupo de Lie) y el grupo de reflexión. De hecho, es bastante fácil encontrar ejemplos con simetría de reflexión pero no la totalidad O ( 3 ) simetría: un cubo o un octaedro con el origen en sus centros, por ejemplo.
Quise decir que nuestro universo ya es simétrico bajo S O ( 3 ) , por lo que al agregar simetría rotacional se obtiene O ( 3 ) simetría.
Correcto, pero las cantidades conservadas a través del teorema de Noether para S O ( 3 ) y O ( 3 ) son iguales (momento angular). Agregar los reflejos no agrega ninguna cantidad conservada nueva porque no son un grupo de Lie sino un grupo discreto.
Eso me parece extraño ... ¿la cantidad conservada solo depende del componente conectado de la identidad o algo así? ¿Por qué diferentes grupos de Lie dan lugar a la misma cantidad conservada?
Sí, la derivación del teorema de Noether comienza considerando transformaciones infinitesimales X → X + d X , lo que significa que solo importa realmente el componente conectado de la identidad. Véase, por ejemplo, en.wikipedia.org/wiki/…
Cantidad conservada correspondiente a la simetría de reflexión
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