Campos de tiempo cero usando distribuciones valoradas por el operador en QFT en espaciotiempos curvos

Sobre las notas de Fewster sobre QFT en espaciotiempos curvos, dice:

Nuestro objetivo es encontrar operadores$\Phi(f)$tal que

$$\Phi(Pf) = 0$$

para todos$f\in C^\infty_0(M)$y para que los campos de tiempo cero

$$\varphi({\bf{x}})=\Phi(0,{\bf{x}}),\quad \pi({\bf{x}})=\dot{\Phi}(0,{\bf{x}})$$

obedecer los CCR

$$[\varphi(f),\pi(g)]=i\langle \bar{f},g\rangle \mathbf{1},\quad [\varphi(f),\varphi(g)]=[\pi(f),\pi(g)]=0.$$

Ahora confieso que no entiendo esto. En la primera ecuación, el autor claramente usa campos cuánticos como distribuciones de valores de operadores, es decir, como aplicaciones

luego habla de campos de tiempo cero. Luego calcula$\Phi(0,\mathbf{x})$y$\dot{\Phi}(0,\mathbf{x})$. Pero espera un momento, ahora$\Phi$parece ser una función en el espacio-tiempo, era una distribución de valor del operador una línea arriba.

En esta misma línea,$\varphi,\pi$parecen aparecer como campos definidos en el espacio-tiempo, es decir$\varphi,\pi : M\to \mathbb{C}$.

Pero luego, en la línea de abajo, se convierten en distribuciones de valor de operador, y esto es bastante confuso.

Entonces, ¿qué está pasando realmente aquí? ¿De qué se trata todo esto? ¿Cómo aparecen los campos de tiempo fijo en este formalismo de distribuciones de valor de operador? Por qué y cómo el autor va y viene entre campos habituales en el espacio-tiempo como función definida en$M$y distribuciones de valor del operador, es decir, asignaciones en$C^\infty_0(M)$?