¿Por qué necesitamos estos dos conjuntos de modos en el colapso gravitatorio?

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¿Por qué necesitamos estos dos conjuntos de modos en el colapso gravitatorio?

Física
relatividad general
física-matemática
teoría cuántica de campos
teoría clásica del campo
qft-en-espacio-tiempo-curvo

Oro

Considere el colapso gravitacional del espacio-tiempo:

Hawking argumenta en su artículo $^{[1]}$ sobre la radiación del agujero negro que el campo escalar sin masa $\phi$ se puede descomponer como

\begin{matrix} (2.4) & ϕ = \sum_{i} {{pag}_{i} b_{i} + {pag}_{i}^{*} b_{i}^{†} + q_{i} C_{i} + q_{i}^{*} C_{i}^{†}} \end{matrix}

$\phi = \sum_i \{p_i b_i+p_i^\ast b_i^\dagger+q_i c_i+q_i^\ast c_i^\dagger\} \tag{2.4}$

dónde $\{p_i\}$ es una familia ortonormal completa de soluciones de la ecuación de Klein-Gordon que contiene solo frecuencias positivas con respecto a $\mathscr{I}^+$ y tener cero datos de Cauchy en el horizonte $\mathfrak{H}$ .

Por otro lado $\{q_i\}$ es una familia ortonormal completa de soluciones de la ecuación de Klein-Gordon sin componente saliente (por cierto, no sé cómo define rigurosamente ningún componente saliente , significaría que $q_i(x) = 0$ para $x\in \mathscr{I}^+$ ?)

Ahora no entiendo lo que se está haciendo aquí. Si $\{p_i\}$ es un conjunto completo, me parece que por definición podemos escribir

ϕ = \sum_{i} {{pag}_{i} b_{i} + {pag}_{i}^{*} b_{i}^{†}},

$\phi = \sum_i\{ p_i b_i+p_i^\ast b_i^\dagger\},$

y de manera similar para $\{q_i\}$ si es un juego completo.

¿Por qué necesitamos usar dos juegos completos a la vez?

Creo que esto tiene algo que ver con la formulación del valor inicial con datos iniciales en una superficie de Cauchy. Pero no logro obtener la conexión precisa aquí que explica rigurosamente por qué necesitamos esta descomposición para analizar el problema de la radiación de Hawking.

$[1]$ Hawking, S., "Creación de partículas por agujeros negros", https://link.springer.com/article/10.1007/BF02345020

Vanguardia

Estás en lo correcto.

p

$p$ es la radiación saliente mientras

q

$q$ es el que está engullido por el horizonte de sucesos. El horizonte por sí solo no es la superficie de Cauchy, sino

H \cup I^{+}

$\mathfrak{H} \cup \mathscr{I}^+$ es - cualquier curva causal futura termina en

H

$\mathfrak{H}$ o

I^{+}

$\mathscr{I}^+$ , por lo que necesita datos de Cauchy en ambas superficies para obtener un conjunto completo de soluciones de modo.

Oro

@Avantgarde, pero una curva temporal puede terminar en

i^{+}

$i^+$ . Entonces, para obtener una superficie de Cauchy, no necesitamos configurar

Σ = H \cup I^{+} \cup i^{+}

$\Sigma = \mathfrak{H}\cup \mathscr{I}^+\cup i^+$ ? Y por cierto, en una superficie de Cauchy deberíamos especificar datos iniciales ¿no? Esto no parece ser un dato inicial (por cierto, está en un futuro lejano).

Vanguardia

Ah sí, me perdí el punto

i^{+}

$i^+$ . Tener datos definidos en una superficie de Cauchy nos permite determinar el futuro y el pasado.

usuario4552

No existe "el" espaciotiempo del colapso gravitatorio. Hay muchos espaciotiempos diferentes que demuestran algún tipo de colapso gravitatorio. ¿Te refieres al espacio-tiempo de Schwarzschild? El espacio-tiempo de Schwarzschild ni siquiera describe el colapso gravitacional: describe un agujero negro eterno, que no se formó por colapso gravitatorio.

Oro

@BenCrowell, de hecho, estoy de acuerdo en que fui impreciso. Agregué el diagrama del espaciotiempo del colapso gravitatorio que tengo en mente. Como puede ver, no estoy considerando el espacio-tiempo de Schwarzschild.

Oro

@Avantgarde por lo que su punto es:

Σ = I^{+} \cup {i^{+}} \cup H

$\Sigma = \mathscr{I}^+ \cup \{ i^+\} \cup \mathfrak{H}$ es una superficie de Cauchy porque toda curva causal inextensible terminará en cualquiera de las piezas que la definen y, por lo tanto, la cruzará exactamente una vez. Por la definición de

Σ

$\Sigma$ es una superficie de "datos finales" en lugar de datos iniciales. Entonces una solución

ϕ

$\phi$ de la ecuación de KG con datos de Cauchy en

Σ

$\Sigma$ ¿Cuál es una solución de la que hemos especificado su estado final?

Respuestas (1)

¿Por qué necesitamos estos dos conjuntos de modos en el colapso gravitatorio?

Estás en lo correcto. $p$ es la radiación saliente mientras $q$ es el que está engullido por el horizonte de sucesos. El horizonte por sí solo no es la superficie de Cauchy, sino $\mathfrak{H} \cup \mathscr{I}^+$ es - cualquier curva causal futura termina en $\mathfrak{H}$ o $\mathscr{I}^+$ , por lo que necesita datos de Cauchy en ambas superficies para obtener un conjunto completo de soluciones de modo.
@Avantgarde, pero una curva temporal puede terminar en $i^+$ . Entonces, para obtener una superficie de Cauchy, no necesitamos configurar $\Sigma = \mathfrak{H}\cup \mathscr{I}^+\cup i^+$ ? Y por cierto, en una superficie de Cauchy deberíamos especificar datos iniciales ¿no? Esto no parece ser un dato inicial (por cierto, está en un futuro lejano).
Ah sí, me perdí el punto $i^+$ . Tener datos definidos en una superficie de Cauchy nos permite determinar el futuro y el pasado.
No existe "el" espaciotiempo del colapso gravitatorio. Hay muchos espaciotiempos diferentes que demuestran algún tipo de colapso gravitatorio. ¿Te refieres al espacio-tiempo de Schwarzschild? El espacio-tiempo de Schwarzschild ni siquiera describe el colapso gravitacional: describe un agujero negro eterno, que no se formó por colapso gravitatorio.
@BenCrowell, de hecho, estoy de acuerdo en que fui impreciso. Agregué el diagrama del espaciotiempo del colapso gravitatorio que tengo en mente. Como puede ver, no estoy considerando el espacio-tiempo de Schwarzschild.
@Avantgarde por lo que su punto es: $\Sigma = \mathscr{I}^+ \cup \{ i^+\} \cup \mathfrak{H}$ es una superficie de Cauchy porque toda curva causal inextensible terminará en cualquiera de las piezas que la definen y, por lo tanto, la cruzará exactamente una vez. Por la definición de $\Sigma$ es una superficie de "datos finales" en lugar de datos iniciales. Entonces una solución $\phi$ de la ecuación de KG con datos de Cauchy en $\Sigma$ ¿Cuál es una solución de la que hemos especificado su estado final?

qmecanico · Answer 1

Al principio, uno podría sospechar que Hawking está considerando un campo escalar complejo (que corresponde a 2 campos escalares reales), pero en realidad Hawking menciona explícitamente la ecuación anterior. (2.2) que $\phi$ es solo 1 campo escalar real. El campo escalar real $\phi$ además se supone sin masa.
En cambio, la duplicación en la ec. (2.4) [en comparación con la ec. (2.3)] es causado por el hecho de que la superficie final de Cauchy consta de 2 partes: El horizonte de eventos ${\scr H}^+$ y ${\scr J}^+$ , cf. comentario anterior del usuario Avantgarde. Esto es similar a un experimento de dispersión 1D: la onda entrante de ${\scr J}^-$ se transmite parcialmente al horizonte de eventos ${\scr H}^+$ y en parte reflejado en ${\scr J}^+$ , cf. Figura de OP (o Fig. 3 de Hawking).

Gracias por la respuesta. Así que eligiendo una base con modos $\{p_i\}$ desapareciendo en el horizonte y de frecuencia positiva con respecto al parámetro temporal de $\mathscr{I}^+$ y modos $\{q_i\}$ desapareciendo en $\mathscr{I}^+$ ¿Es una elección motivada físicamente por la "imagen dispersa" que imagina el horizonte como una barrera potencial y trata de dar sentido a "la parte de la onda transmitida y reflejada"?

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usuario4552

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qmecanico

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