Campo eléctrico en una capa esférica con un disco recortado

Question

Campo eléctrico en una capa esférica con un disco recortado

Shreyas B.

Encontré este problema en Electricity and Magnetism de EM Purcell:

Una capa esférica de radio $a$ está cargado con una densidad de carga superficial uniforme $\sigma$ . Un pequeño agujero de radio $b << a$ se corta (esencialmente un disco de radio $b$ ). ¿Cuál es el campo eléctrico en el centro del agujero?

Intuitivamente, la dirección del campo debería ser radial hacia afuera, aunque tengo problemas para encontrarlo. Pensé en volver a enchufar el disco para obtener un campo de $\displaystyle\vec{E} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{4\pi a^2\sigma}{a^2} \hat{\rho} = \frac{\sigma}{\epsilon_0}\hat{\rho}$ , y luego intento "eliminar" el campo debido al disco, pero esto no parece funcionar. alguna sugerencia (la respuesta es $\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\hat{\rho}$ )?

Felipe

Ha pasado un tiempo desde que hice electrostática, así que disculpas si esto no está bien. Pero aquí está mi idea (que es muy similar a su sugerencia y parece dar la respuesta correcta) Considere los siguientes problemas complementarios: una capa esférica de radio

a

$a$ y densidad de carga

σ

$\sigma$ (sin agujero), y un pequeño disco circular de radio

b

$b$ y densidad de carga

- σ

$-\sigma$ , luego evalúe los campos eléctricos individualmente. ¿Qué sucede si el disco se coloca en la carcasa?

Respuestas (1)

Campo eléctrico en una capa esférica con un disco recortado

Ha pasado un tiempo desde que hice electrostática, así que disculpas si esto no está bien. Pero aquí está mi idea (que es muy similar a su sugerencia y parece dar la respuesta correcta) Considere los siguientes problemas complementarios: una capa esférica de radio $a$ y densidad de carga $\sigma$ (sin agujero), y un pequeño disco circular de radio $b$ y densidad de carga $-\sigma$ , luego evalúe los campos eléctricos individualmente. ¿Qué sucede si el disco se coloca en la carcasa?

ZeroTheHero · Answer 1

ZeroTheHero

Creo que estás en el camino correcto. La idea es considerar el campo de una esfera completa, sin perforar, de densidad de carga superficial $\sigma$ y "agregar" un pequeño parche de densidad de carga superficial $-\sigma$ . Por superposición, el parche y la esfera llena equivalen a una esfera con un pequeño agujero.

Tiene razón en que el campo justo en la superficie de la esfera sin perforar es $E=\sigma/\epsilon_0$ . Ahora creo que el truco es que, para un punto muy cercano a la superficie, el parche puede considerarse como una placa infinita de carga superficial. $-\sigma$ . Esto es posible por la misma razón que se considera que una placa tiene una extensión infinita si el punto donde queremos colocar el campo está mucho más cerca de la placa que cualquiera de las dimensiones físicas de la placa. Esto parece justificado aquí ya que estás en el centro del "plato" y arbitrariamente cerca de él. El campo de tal placa es $-\sigma/2\epsilon_0$ por lo que el campo neto en el centro es así

\frac{σ}{ϵ_{0}} - \frac{σ}{2 ϵ_{0}} = \frac{σ}{2 ϵ_{0}}

$\frac{\sigma}{\epsilon_0}-\frac{\sigma}{2\epsilon_0}=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}$

Shreyas B.

Gracias, para reiterar, dado que la distancia desde la placa es "infinitamente pequeña", se puede usar la Ley de Gauss para calcular el campo eléctrico debido al disco como:

\oint E \cdot d \vec{A} = \frac{\sum Q}{ϵ_{0}} \Rightarrow (E) (2 π r^{2}) = \frac{π r^{2} (- σ)}{ϵ_{0}} \Rightarrow E = \frac{- σ}{2 ϵ_{0}}

$\oint E \cdot \, d\vec{A} = \frac{\sum Q}{\epsilon_0} \Rightarrow (E)(2\pi r^2) = \frac{\pi r^2 (-\sigma)}{\epsilon_0} \Rightarrow E = \frac{-\sigma}{2\epsilon_0}$ , entonces el total es solo

\frac{σ}{ϵ_{0}} - \frac{σ}{2 ϵ_{0}} = \frac{σ}{2 ϵ_{0}}

$\frac{\sigma}{\epsilon_0} - \frac{\sigma}{2\epsilon_0} = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ ?

ZeroTheHero

El primer punto clave es, para calcular el efecto del pinchazo, uno considera que el pequeño agujero es muy pequeño. El segundo punto clave es que, para calcular el campo en el centro de este disco muy pequeño, el disco pequeño bien podría tener una extensión infinita, ya que lo que importa es la relación entre la distancia a este disco y el radio del disco, una cantidad que irá a

0

$0$ para cualquier

b \neq 0

$b\ne 0$ . En cuanto al resto, sí, es solo la ley de Gauss según tu comentario.

Shreyas B.

Lo que no entiendo es esto: el potencial en el centro de un disco de radio

a

$a$ se puede calcular considerando anillos concéntricos de ancho

d r

$dr$ y radio

r

$r$ . Desde

d ϕ = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{σ d x d r}{r}

$\displaystyle d\phi = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{\sigma\, dx\, dr}{r}$ , dónde

x

$x$ representa

ϕ

$\phi$ para todas las piezas en el anillo de radio

r

$r$ , podemos integrar dos veces para obtener eso

ϕ = 0

$\phi = 0$ en el centro del disco. Si

\vec{E} = - \nabla ϕ

$\displaystyle\vec{E} = -\nabla\phi$ , eso implica

\vec{E} = 0

$\vec{E} = 0$ . ¿Que esta mal aquí?

ZeroTheHero

No estoy seguro de que usar el potencial sea productivo ya que la geometría dificulta el cálculo

ϕ

$\phi$ en cualquier lugar excepto en el eje de simetría de la placa. Esto no es suficiente para calcular el gradiente ya que, en principio, el potencial podría tener un valor distinto de cero.

\partial / \partial r

$\partial/\partial r$ .

Felipe

En realidad, la razón por la que no escribí una respuesta a esto es porque hay algo en lo que @ShreyasB. está diciendo que no pude explicar claramente. Creo que el campo en el centro de un disco cargado es cero. Tomemos, por ejemplo, esta respuesta , que muestra que

E = σ / 2 ϵ_{0}

$E = \sigma/2\epsilon_0$ funciona solo para

z > 0

$z>0$ . Directamente en el centro

z = 0

$z=0$ , todas las contribuciones se cancelan y te dan

E = 0

$E=0$ . La solución, creo, es que una hoja infinitamente delgada es en sí misma bastante poco realista y, por lo tanto, podría considerarse que está infinitesimalmente cerca de ella.

Campo eléctrico en una capa esférica con un disco recortado

Shreyas B.

Felipe

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ZeroTheHero

Shreyas B.

ZeroTheHero

Shreyas B.

ZeroTheHero

Felipe

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