¿Por qué se puede encontrar el campo eléctrico con métodos electrostáticos si la carga se está moviendo?

En el libro de electrodinámica de Griffiths, en el capítulo sobre electrodinámica, hace algunos cálculos de campos eléctricos usando métodos electrostáticos cuando la carga realmente está cambiando.

Entonces, dos ejemplos:

  1. Dos cilindros metálicos coaxiales largos (radios a y b ) están separados por material de conductividad σ . Si se mantienen a una diferencia de potencial V , qué corriente fluye de uno a otro, en una longitud L ? El campo entre los cilindros es

mi = λ 2 π ϵ 0 s s ^ .

  1. Imagine dos capas esféricas de metal concéntricas. El interior (radio a ) lleva una carga q ( t ) , y el exterior (radio b ) lleva un cambio − q ( t ) . El espacio entre ellos está lleno de material óhmico de conductividad. σ , entonces fluye una corriente radial:

j = σ mi = σ 1 4 π ϵ 0 q r 2 r ^ ; I = − q ˙ = ∫ j ⋅ d a = σ q ϵ 0 .

Ahora en ambos problemas tenemos corrientes. En el segundo tenemos incluso una carga variable en el tiempo q ( t ) . Entonces, en ambos problemas, las cargas se mueven. Estas no son configuraciones estáticas.

Pero parece que los campos se encuentran a través de la ley de Gauss. Quiero decir, los métodos de electrostática se usan directamente sin una explicación de por qué se pueden usar .

Además, incluso hay una prueba que se basa en el uso de la ecuación de Laplace para el potencial dentro de un cable. Pero la existencia misma del potencial es algo adquirido de la electrostática, basada en ∇ × mi = 0 , que sabemos que no se mantendrá en electrodinámica.

Por supuesto, una posible respuesta podría ser: "se usa porque funciona", y no dudo que funcione, ya que se está utilizando.

Pero todo mi punto es: como lo hizo el autor, construyó la teoría paso a paso: primero electrostática, basada en la ley de Coulomb y la superposición (el autor incluso dice que todo eso es solo para configuraciones estáticas), luego magnetostática, basada en constante Corrientes y Ley de Biot Savart.

Ahora, cuando se trata de electrodinámica, pensé que habría alguna explicación sobre cómo se calcula ahora el campo eléctrico con cargas moviéndose. ¿Por qué en estos casos funcionan los métodos tradicionales de electrostática? ¿Cómo podemos justificarlo adecuadamente dentro de la teoría en lugar de simplemente decir que funciona?

No me queda claro lo que estás buscando aquí. Los supuestos electrostático y magnetostático son idealizaciones que se mantienen, en una buena aproximación, cuando las tasas de cambio son lo suficientemente pequeñas y se vuelven exactas en el límite cuando las tasas de cambio llegan a cero. Esto es típico en física. Esta buscando algo mas?
Quizás un ejemplo pueda aclarar mi punto: en el primer ejemplo, tenemos dos cilindros cargados, uno interno y otro externo, el espacio entre ellos lleno con un material con cierta conductividad. Si olvidamos el material intermedio, este es un problema típico de electrostática y el campo es lo que indicó el autor. Por otro lado, con el material conductor en el medio, las cargas se moverán de un cilindro al otro. Esto me confunde, ya no es electrostática, ¿verdad?
Parece que deberíamos tener una contribución a mi de estas cargas en movimiento, de modo que mi no debe, en un principio, ser el mismo que en la electrostática. Aún así, es solo el campo de la configuración electrostática tradicional, es como la corriente que fluye, debido a que el campo electrostático simplemente no contribuye ni afecta el campo eléctrico en absoluto. Esto es lo que no puedo entender.
La distribución de carga ρ ( X → , t ) es estático. No importa que la distribución comprenda muchas cargas en movimiento, ya que la distribución general no cambia.

Respuestas (2)

La parte de la "dinámica" entra cuando el d / d t Los términos comienzan a ser significativos, así que revisemos de dónde vienen en la teoría. La forma diferencial es la más fácil de considerar, por lo que no tenemos que preocuparnos por mi y q estar en diferentes lugares. Entonces

  • d B → / d t y d mi → / d t : ¿los campos son estáticos? Eso se establece en función de si las fuentes y las condiciones de contorno son estáticas.
  • cambios de tiempo en las fuentes ρ y j → , restringido por la ecuación de continuidad

El primer ejemplo no tiene ninguno de estos. Tiene una corriente, pero esa corriente ( no las cargas individuales que la componen) es estática. Así que es claramente el ámbito del análisis estático.

El segundo es más complicado, y probablemente hubiera sido mejor si hubiera más explicación.

Para cualquier configuración macroscópica real del segundo caso, parece claro que los términos variables en el tiempo van a ser pequeños en comparación con todo lo demás. Para decirlo de otra manera, los tiempos característicos lo colocan en el ámbito de "condensador de descarga", donde realmente no nos preocupamos por la radiación electromagnética de la corriente cambiante.

Ahora en ambos problemas tenemos corrientes. En el segundo tenemos incluso una carga variable en el tiempo q ( t ) . Entonces, en ambos problemas, las cargas se mueven. Estas no son configuraciones estáticas.

En ambos casos, los objetos se mantienen en [algo] = constante, es decir, diferencia de potencial constante en el primer escenario y carga total constante en el segundo escenario. Una corriente fluye en ambos escenarios, pero esto no significa que la corriente varíe en el tiempo. De hecho, en ambos casos la corriente podría ser estática. En otras palabras, la carga entra en cada objeto al mismo ritmo que sale de cada objeto. Entonces, si dibuja su superficie gaussiana alrededor de cada objeto, la carga neta encerrada podría permanecer constante en el tiempo, lo que significa que usar la ley de Gauss estaría bien.

Técnicamente, la ley de Gauss no requiere ∂ t B = 0 , ya que simplemente establece que ... el flujo total de D a través de la superficie es igual a la carga contenida en el interior... [página 17 del libro E&M de JD Jackson, 3ra edición (es decir, cubierta azul uno)]. Entonces, la corriente en el segundo caso (como @AlfredCentauri me señaló correctamente) puede variar en el tiempo, pero el uso de la ley de Gauss no se invalida por esta condición.

Además, incluso hay una prueba que se basa en el uso de la ecuación de Laplace para el potencial dentro de un cable. Pero la existencia misma del potencial es algo adquirido de la electrostática, basada en ∇ × mi = 0 , que sabemos que no se mantendrá en electrodinámica.

Primero, una corriente constante dará como resultado un campo magnético independiente del tiempo que satisfaría ∂ t B = 0 , lo que hace la suposición ∇ × mi = 0 bueno. Técnicamente, se puede argumentar que ∇ × mi = 0 si mi = − ∇ ϕ (es decir, el gradiente de un escalar), en cuyo caso sabemos por cálculo vectorial que el rotacional de un gradiente es cero.

En segundo lugar, la existencia de un campo magnético no implica la necesidad del término electrodinámica , si el campo magnético es en sí mismo estático.

¿Por qué en estos casos funcionan los métodos tradicionales de electrostática?

Mira mis comentarios arriba...

¿Cómo podemos justificarlo adecuadamente dentro de la teoría en lugar de simplemente decir que funciona?

Creo que el teorema de la divergencia (que es un caso especial del teorema de Stokes ) es una regla matemática general que no requiere que nada sea estático, aparte de la constancia de la superficie/volumen arbitrario sobre el que se integra.

Como dije antes, una corriente constante da como resultado un campo magnético estático o ∂ t B = 0 . En ambos casos, podemos definir mi = − ∇ ϕ porque cualquier componente variable en el tiempo no importa (es decir, ∂ t A = 0 ) para el campo eléctrico total. Sabemos por cálculo vectorial que ∇ × ∇ ϕ = 0 , dónde ϕ es cualquier cantidad o función escalar, entonces ∇ × mi = 0 .

“De hecho, en ambos casos la corriente debe ser estática para mantener esas configuraciones”. - ¿estás seguro de que esto se aplica al segundo caso? Para mí, el segundo caso suena como un capacitor cargado que se descarga a través de un dieléctrico con fugas, por lo que la corriente debería decaer a cero con el tiempo.
@AlfredCentauri - Buena captura, parece que respondí demasiado rápido... Vaya, creo que leí mal la segunda...
¿Por qué se puede encontrar el campo eléctrico con métodos electrostáticos si la carga se está moviendo?
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