Campo eléctrico debajo del plano conductor

¿La carga inducida en el avión no crea un campo eléctrico?

Sí, por supuesto que lo hace. Pero no olvides que también existe el campo eléctrico de la carga puntual.$q$por encima del plano a considerar. Sorprendentemente, dado que este es el caso electrostático, debe ser que el campo eléctrico de la carga inducida cancela precisamente el campo eléctrico de la carga puntual.$q$en la región debajo del plano.

Este debe ser el caso ya que (1) no hay carga debajo del plano y (2) el potencial eléctrico debe por lo tanto satisfacer la ecuación de Laplace en esa región.

Suponiendo que el potencial se establece en cero en$\pm \infty$, el hecho de que el plano conductor conectado a tierra tenga, por definición, un potencial cero implica que el potencial es cero en la región debajo del plano.

Si este no fuera el caso, necesariamente habría un máximo o un mínimo del potencial en la región debajo del plano, pero entonces el potencial no satisfaría la ecuación de Laplace. De Wolfram Mathworld :

Una función$\psi$que satisface la ecuación de Laplace se dice que es armónico. Una solución a la ecuación de Laplace tiene la propiedad de que el valor promedio sobre una superficie esférica es igual al valor en el centro de la esfera (teorema de la función armónica de Gauss). Las soluciones no tienen máximos ni mínimos locales.

(el subrayado es mío)

Dado que el potencial es constante en la región debajo del plano, el campo eléctrico es necesariamente cero .

Piénselo de esta manera: la distribución de potencial debajo de la superficie obedece a la ecuación de Laplace, y las condiciones de contorno asociadas con ella son que el potencial debe ser cero en el límite del conductor. Ahora, una solución trivial para este problema de valor límite es un potencial cero idéntico en todas partes debajo del conductor. Y por el teorema de unicidad de la ecuación de Laplace, también es la única solución. Por lo tanto, el potencial y, por lo tanto, el campo eléctrico debajo del conductor son idénticos a cero.

Sobre su declaración sobre el cargo inducido; es cierto que se induce algo de carga en el conductor. Sin embargo, el potencial de la carga puntual sobre la superficie cancela el potencial creado por las cargas inducidas, dejando un potencial cero en esa región.