Cambios de fase en la teoría de la dispersión

Suponga que trata la dispersión de una partícula en un potencial central. Esto significa que el hamiltoniano$H$conmuta con los operadores de momento angular$L^2$y$L_z$. Por lo tanto, puede encontrar funciones propias simultáneas$\psi_{k,l,m}$. Es posible que sepa, por ejemplo, a partir de la solución del átomo de hidrógeno, que estas funciones se pueden expresar en términos de armónicos esféricos:

$$\psi_{k,l,m}(x) = R_{k,l}(r) \Psi_m^l(\theta, \varphi)$$ donde la parte radial satisface $$\frac{1}{r^2} \frac{d}{dr} \left( r^2 \frac{dR_{k,l}}{dr}\right) +\left(n^2 - U(r) - \frac{l(l+1)}{r^2}\right) R_{k,l} = 0$$ con $U(r) = 2m/\hbar^2 V(r)$, su potencial central, y $k$es el número de onda de la partícula, es decir, $E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}.$

El primer paso es buscar un caso especial con soluciones simples. Esta sería la partícula libre , con$U(r) = 0$. Entonces, la ecuación radial es un caso especial de la ecuación de Bessel. Las soluciones son las funciones esféricas de Bessel $j_l(kr)$y$n_l(kr)$, donde el$j_l$son regulares en el origen mientras que los$n_l$son singulares en el origen. Por tanto, para una partícula libre, las soluciones son superposiciones de las$j_l$:

$$\psi(x) = \sum_{l,m} a_{l,m} j_l(kr) Y^l_m(\theta, \varphi)$$

Si además tenemos simetría axial, sólo$m = 0$es relevante. Entonces podemos reescribir los armónicos esféricos usando polinomios de Legendre. Esto conducirá a

$$\psi(x) = \sum_{l,m} A_{l} j_l(kr) P_l(\cos \theta)$$ Un caso especial importante de tal expansión es la expansión de onda plana de Rayleigh. $$e^{ikz} = \sum_l (2l+1) i^l j_l(kr) P_l(\cos\theta)$$ que necesitaremos en el siguiente paso.

Nos alejamos de las partículas libres y consideramos la dispersión de un potencial con un rango finito (¡esto excluye la dispersión de Coulomb!). Asi que,$U(r) = 0$por$r > a$dónde$a$es el rango del potencial. Por simplicidad, asumimos simetría axial. Entonces, fuera del rango, la solución debe ser nuevamente la de una partícula libre. Pero esta vez, el origen no está incluido en el rango, por lo que podemos (y, de hecho, debemos) incluir el$n_l(kr)$soluciones a las ecuaciones de Bessel:

$$\psi(r) = \sum_l (a_l j_l(kr) + b_l n_l(kr)) P_l(\cos \theta)$$ Observe cómo la solución para un dado $l$tiene dos parámetros $a_l$y $b_l$. Podemos pensar en otra parametrización: $a_l = A_l \cos\delta_l$y $b_l = -A_l \sin \delta_l$. La razón para hacer esto se hace evidente en el siguiente paso:

Las funciones esféricas de Bessel tienen aproximaciones de largo alcance :

$$j_l(kr) \sim \frac{\sin(kr - l\pi/2)}{kr}$$ $$n_l(kr) \sim \frac{\cos(kr - l\pi/2)}{kr}$$ que podemos insertar en la función de onda para obtener una aproximación de largo alcance. Después de algo de trigonometría, obtenemos $$\psi(r) \sim \sum_l \frac{A_l}{kr} \sin(kr - l\pi/2 + \delta_l) P_l(\cos \theta)'$$ Entonces, así es como se ve nuestra función de onda para grandes $r$. Pero ya sabemos cómo debería verse: si la partícula dispersa entrante se describe como una onda plana en $z$-dirección, está relacionada con la amplitud de dispersión $f$a través de $$\psi(\vec{x}) \sim e^{ikz} + f(\theta) \frac{e^{ikr}}{r}.$$ Obviamente, ambas formas de escribir una aproximación de largo alcance para $\psi$debería dar lo mismo, así que usamos la expansión de onda plana de Rayleigh para reescribir la última forma. También reescribimos el $\sin$funciones usando exponenciales complejas. Los cálculos resultantes son un poco tediosos, pero no complicados en sí mismos. Solo insertas las expansiones. Lo que podemos hacer después es comparar los coeficientes en ambas expresiones para los mismos términos, por ejemplo, ecuación los coeficientes para $e^{-ikr}P_l(\cos\theta)$Te regalaré $$A_l = (2l+1)i^l e^{i\delta_l}$$ mientras que la equiparación de coeficientes para $e^{ikr}$te dio $$f(\theta) = \frac{1}{2ik} \sum_l (2l+1) \left( e^{2i\delta_l} - 1 \right) P_l(\cos \theta).$$

Interpretación del cambio de fase: recuerde el límite de largo alcance de la función de onda. Condujo a una expresión para el$l$-ésima función de onda radial en el rango largo de

$$u_l(r) = kr\psi_l(r) \sim A_l \sin(kr - l\pi/2 +\delta_l).$$ Para una partícula libre, el cambio de fase $\delta_l$sería $0$. Por lo tanto, se podría decir que el cambio de fase mide cuánto se desplaza la solución asintótica de su problema de dispersión en el origen desde la solución libre asintótica.

Interpretación de la expansión de onda parcial: en la literatura, a menudo encontrará términos como$s$-dispersión de ondas. La expansión de onda parcial descompone el proceso de dispersión en la dispersión de ondas entrantes con número cuántico de momento angular definido. Explica de qué manera$s$-,$p$-,$d$-las ondas, etc. se ven afectadas por el potencial. Para la dispersión de baja energía, solo los primeros$l$-Los números cuánticos se ven afectados. Si se descartan todos menos el primer término, sólo el$s$-las ondas toman parte en el proceso de dispersión. Esta es una aproximación que se hace, por ejemplo, en la dispersión de los átomos en un condensado de Bose-Einstein.