¿Por qué una función de onda plana puede verse como un haz y no como una sola partícula?

Mi profesor me dice que la siguiente función de onda no se puede normalizar, por lo tanto no representa una partícula.

ψ ( X ) = A mi i k X

Sin embargo, continúa diciendo que se puede pensar que la función de onda es un haz de partículas mediante el uso de series de Fourier, sin embargo, no entiendo cómo esto es posible y me preguntaba si alguien podría proporcionar alguna prueba.

Tal vez lo que su profesor quiere decir es que la función de onda, que representa la amplitud de probabilidad de observar una partícula, debe normalizarse. De lo contrario, no puede dar la interpretación de probabilidad correcta. Uno puede representar tal función de onda como un espectro de ondas planas.

Respuestas (1)

Hay una discusión bastante buena sobre el caso de las partículas libres aquí . Supongo que lo has demostrado. ψ no es normalizable.

Por que ψ no ser normalizable significa que no puede representar una partícula? Bueno, esto representa una onda plana con amplitud constante en todas partes (solo cambia la fase). Como la amplitud de la función de onda le informa sobre la probabilidad de encontrar una partícula en un lugar determinado, puede pensar que esto implica que la partícula tiene la misma probabilidad de estar en cualquier parte del universo, lo que realmente no corresponde a nuestra idea. de una partícula. En términos puramente matemáticos, normalmente restringimos nuestra atención a las soluciones de la ecuación de Schrödinger que son integrables al cuadrado, y esta solución no lo es. Esto significa que esta solución no forma parte de nuestro espacio de Hilbert. ¿Por qué pasó esto? Tenga en cuenta que ψ tiene un solo k -componente, que corresponde a la cantidad de movimiento. Por lo tanto, tiene un impulso infinitamente agudo (su impulso es exactamente k ), y por lo tanto una posición infinitamente manchada por el principio de incertidumbre de Heisenberg.

Sin embargo, ¡eso no significa que esta solución no sea importante! La ecuación de Schrödinger es una ecuación diferencial lineal, por lo que se cumple el principio de superposición. Esto significa que si ψ 1 satisface la ecuación de Schrödinger y ψ 2 satisface la ecuación de Schrödinger, entonces ψ 1 + ψ 2 también satisfará la ecuación de Schrödinger!

¿Porque es esto importante? Bueno, podemos construir soluciones normalizables tomando combinaciones lineales de partículas libres, los llamados paquetes de ondas. Tomemos alguna función F ( k ) que describe cómo nuestras amplitudes fluctúan en k . Esto corresponde a tomar múltiples componentes de la cantidad de movimiento, por ejemplo, introduciendo algo de "spread" en el valor de la cantidad de movimiento. Luego forma una superposición lineal como:

ψ 3 ( X ) = A ∫ − ∞ ∞ d k   F ( k ) mi i k X
Esto se llama una solución de paquetes de ondas. Tenga en cuenta que esta es una solución de la ecuación de Schrödinger, por linealidad (piense en la integral como una suma infinita). Sin embargo, para las elecciones apropiadas de F ( k ) , ψ 3 se puede hacer normalizable! Esencialmente, estás sumando múltiples partículas de diferente impulso. k , que es lo que su profesor quiere decir con un "haz" de partículas. Si quiere pensar en términos físicos, entonces estamos haciendo que la función de onda esté menos localizada en el impulso y, por lo tanto, logremos una mayor localización en la posición.

Entonces, ¿cómo se relaciona esto con la serie de Fourier? Bueno, ten en cuenta que ψ 3 ( X ) anterior es (hasta factores constantes) nada más que la transformada de Fourier de la función F ( k ) . Esto es útil una vez que resuelve la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, ya que la solución de partículas libres tiene la evolución temporal más simple posible, y cualquier estado inicial razonable del sistema puede ser transformado por Fourier. Por lo tanto, una forma de obtener la evolución temporal en la mecánica cuántica es transformar la función de onda inicial de Fourier y agregar la evolución temporal. Esto es equivalente al método de separación de variables para resolver PDE.

Por supuesto, hay otras opciones para arreglar la solución de partículas libres. Una es exigir que el sistema viva en alguna caja finita (arbitrariamente grande). Entonces la solución es normalizable y vive en un espacio de Hilbert. Esta es una solución interesante, porque claramente conduce a problemas con la relatividad si la caja es lo suficientemente grande. Este y otros problemas relacionados fueron los que llevaron al desarrollo de la mecánica cuántica relativista y, en última instancia, a la teoría cuántica de campos.

Disculpas por la respuesta tardía. He marcado la pregunta como respondida, sin embargo, me gustaría aclarar un malentendido. Corrígeme si me equivoco, si dejo F ( k ) = A mi i k X haría ψ 3 ( X ) convertirse en una suma de funciones delta de dirac. Si es así, ¿cómo representa esto un haz de partículas?
En realidad, elegir F ( k ) de esta manera, todavía te llevaría al mismo problema, ya que obtienes la integral de mi i 2 k X , que no es más normalizable que mi i k X . Sin embargo, en general, no puede elegir ninguna F ( k ) , el requisito es que F ( k ) marcas ψ 3 normalizable, por lo que vive en el espacio de Hilbert. El "haz de partículas" puede ser una forma confusa de verlo, porque estamos trabajando con un hamiltoniano de una sola partícula. Pero puedes pensar en F ( k ) como representando una suma de ondas que interfieren. Si piensas en la dualidad partícula-onda, esto se puede considerar como una suma de partículas.
Si no puedes descomponerte ψ ( X ) = A mi i k X en una suma tomando la transformada de Fourier. ¿Cómo es posible que se considere una suma de ondas y, por lo tanto, de partículas?
¿Por qué una función de onda plana puede verse como un haz y no como una sola partícula?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v