¿Por qué las teorías de calibre no abelianas de Lorentz son mecánicamente cuánticas invariantes?

Parece que me falta algo con respecto a por qué las teorías de Yang-Mills son mecánicamente cuánticas invariantes de Lorentz.

Comience por considerar QED. Si solo estudiamos la física de un sistema sin masa tu ( 1 ) Luego, por la clasificación de pequeños grupos de Wigner, los estados de una partícula forman representaciones del pequeño grupo para k m = ( k , 0 , 0 , k ) que es solo I S O ( 2 ) . Como es estándar, asumimos que nuestros estados solo se transforman de manera no trivial bajo el S O ( 2 ) subgrupo de I S O ( 2 ) de modo que los estados están etiquetados por su cantidad de movimiento y su helicidad, h . Es decir, bajo un S O ( 2 ) rotación por ángulo θ tenemos tu ( θ ) | k , h ⟩ = mi i h θ | k , h ⟩ . En consecuencia, el operador de creación a h † ( k ) se transforma como tu ( θ ) a h † ( k ) tu ( θ ) † = mi i h θ a h † ( k ) . Porque asumimos que los estados se transforman trivialmente bajo el otro I S O ( 2 ) generadores, las mismas ecuaciones se cumplirán si reemplazamos tu ( θ ) por tu ( W ) dónde W es cualquier miembro de la I S O ( 2 ) grupo.

Entonces es bien sabido que si tratamos de escribir un operador de campo A m de la manera usual, encontraremos que las propiedades de transformación de los operadores de creación y aniquilación fuerzan A m transformarse bajo tu ( W ) como tu ( W ) A m tu ( W ) † = W m v A v + ∂ v Ω para la transformación de Lorentz W y alguna función irrelevante Ω . Este es el argumento estándar por el cual se encuentra que la invariancia de Lorentz exige una invariancia de calibre para partículas sin masa.

Entonces, mi pregunta es ¿qué sucede cuando se considera, en cambio, una teoría de norma no abeliana? Supongo que se mantiene la misma historia y que todos los bosones de calibre simplemente adquieren un índice interno, digamos a . Es decir, pensé que los estados se etiquetarían como | k , h , a ⟩ y los operadores de campo se verían como A m a y transforma como tu ( W ) A m a tu ( W ) † = W m v A v a + ∂ v Ω a para alguna funcion Ω a .

Sin embargo, esto parece ser incorrecto, ya que el lagrangiano YM no es invariante bajo lo anterior y, en cambio, solo es invariante bajo transformaciones de calibre completas no abelianas, A → tu − 1 ( A + d ) tu .

La única salida que puedo ver es que los estados no abelianos de una sola partícula pueden cambiar bajo tu ( W ) como tu ( W ) | k , h , a ⟩ = mi i h θ ∑ b D ( W ) a b | k , h , b ⟩ , dónde D ( W ) a b es una matriz unitaria que gira el índice interno en los estados de calibre. Anteriormente, había estado asumiendo que D ( W ) a b es trivial Si esta es la transformación adecuada, podría ver el A m a operador que hereda el comportamiento de transformación de calibre no abeliano más familiar.

Sin embargo, ingenuamente parece incorrecto que una rotación de Lorentz gire los índices de calibre de los estados, ya que esto parecería ser una mezcla de espacio-tiempo y transformaciones internas y, por lo tanto, descartado por Coleman-Mandula. Un generador de transformación interno no abeliano V ( X ) debe actuar en nuestro estado como V ( X ) | k , h , a ⟩ = ∑ b D a b | k , h , b ⟩ para alguna matriz unitaria D a b y por lo tanto V ( X ) tu ( θ ) | k , h , a ⟩ ≠ tu ( θ ) V ( X ) | k , h , a ⟩ entonces habría generadores de simetría que no conmutan con Poincaré.

En resumen, mis preguntas son:

1) ¿Cómo cambia el operador de calibre no abeliano bajo las transformaciones de Lorentz?

2) ¿Un estado de espín-1 no abeliano de una partícula | k , pag , a ⟩ de hecho se transforma como tu ( W ) como tu ( W ) | k , h , a ⟩ = mi i h θ ∑ b D ( W ) a b | k , h , b ⟩ con D ( W ) a b un elemento no trivial del grupo no abeliano? Si es así, ¿por qué esto no viola Coleman-Mandula?

Encontré un documento curioso, donde se resuelve la "brecha" mediante el uso de algunas "transformaciones de Lorentz deformadas" que se aplican solo en los grados de libertad no físicos (escalares, longitudinales). Se estudian casos abelianos y no abelianos (ver por ejemplo fórmulas ( 3.2 ) , ( 3.7 ) .
Solo un comentario: lo que debe ser invariante de Lorentz son los observables, no los operadores, diría yo. Los observables generalmente se definen como algún rastro sobre los grados de libertad internos (calibre). Ningún operador es invariante bajo una transformación de calibre: son covariantes... pero la traza, por supuesto, lo es. Tal vez te ayude en tu caso.
Sí, estoy totalmente de acuerdo con el hecho de que los operadores no son invariantes de Lorentz. Mi problema es que el Lagrangiano no es invariante bajo las ingenuas transformaciones anteriores. Dado que el lagrangiano es lo que aparece en los cálculos de la matriz S, creo que debe ser invariante de Lorentz para que la teoría sea invariante de Lorentz.
Las teorías de calibre tienen identidades de Ward . Entonces, sí, su amplitud podría tener ingenuamente índices de espacio-tiempo, pero cuando la contrae con los vectores de polarización de los gluones, se supone que la dependencia espuria desaparece (modos transversales, grupo pequeño, etc.).

Respuestas (2)

Creo que la parte problemática aquí es la noción de qué exige qué. Por ejemplo, afirmas

Este es el argumento estándar por el cual se encuentra que la invariancia de Lorentz exige una invariancia de calibre para partículas sin masa.

pero no estoy completamente seguro si estoy de acuerdo con esto, o al menos con la interpretación que llevas con él.

Echando un vistazo al libro de Weinberg sobre QFT[1], Capítulo 5.9, veo una forma diferente de ver este problema. Weinberg se da cuenta de que no existe una forma coherente de construir un operador para el campo sin masa de spin-1. El equivalente a su declaración es que si vamos a construir forzosamente ese operador, tiene que ser equivalente a sí mismo además de un derivado de algún otro operador.

Ahora, en mi interpretación (y no creo que en el momento de esta respuesta haya una interpretación unánime e inequívoca de esto) es que la declaración de invariancia de calibre es la de un solo campo de espín-1 sin masa solo se define hacia arriba a la suma de una divergencia, y lo importante es que se trata de un enunciado que es verdadero incluso en ausencia de materia acoplada al campo.

Mi comprensión de su pregunta me lleva a pensar que está poniendo en pie de igualdad dos nociones distintas:

  1. La invariancia de calibre intrínseca de un solo campo de espín-1 sin masa, que se requiere para dar sentido al operador correspondiente.
  2. La invariancia de calibre de una teoría que interactúa con la materia acoplada a un campo de espín-1 sin masa.

Señalo esta distinción porque el punto 2. es el que te obliga a poner una colección de campos de spin-1 sin masa en la representación Adjunta, de modo que el término cinético de la materia con derivadas covariantes es invariante bajo una transformación de calibre de campos de materia, mientras que el punto 1 le dice que cada uno de los campos de espín-1 sin masa tiene una invariancia de calibre intrínseca donde cada uno es idéntico a sí mismo más la adición de una divergencia.

Luego les propongo una interpretación que resolvería este problema, y ​​es así:

  • a) Sabemos que para dar sentido a los campos sin masa de spin-1, sus operadores tienen que disfrutar de una invariancia de calibre de la forma
    A ^ m → A ^ m + ∂ m Ω ^
    como tal, permitimos que la contraparte clásica disfrute de esta libertad desde el primer lugar (punto 1.).
  • b) Por el punto anterior, notamos que las teorías de tu ( 1 ) simetrías de los campos de materia
    ψ → mi i θ ( X ) ψ
    acoplado a la materia
    L = i ψ ¯ γ ⋅ ∂ ψ + ψ ¯ γ ⋅ A ψ
    son inmediatamente invariantes como los nuevos términos que surgen de los términos derivados, la divergencia de la fase θ , se puede calibrar en el campo A m .
  • c) Para las teorías no abelianas, si bien es posible construirlas sin estar interactuando con la materia, su motivación proviene de la evidencia empírica donde interactúan con la materia. En tales formulaciones, sabemos que la teoría es invariante si hay una colección de campos de spin-1 sin masa que se transforman bajo la transformación adjunta (este es el punto 2).
  • d) Además, debido a la presencia de derivadas, todavía habrá una divergencia de una cantidad valorada por el álgebra de mentira (las fases ) que se puede calibrar mediante la colección de los campos de espín-1 sin masa debido a su invariancia de calibre intrínseca ( punto 1.).

En cierto sentido, puede leer el punto c) como lo que algunas personas relacionaron estrechamente con la parte global (un montón de granos de sal en este término) de la transformación de calibre, mientras que d) la parte local. Al final, la teoría funciona porque el requisito de una teoría de calibre interactuante va muy bien con los requisitos de la mecánica cuántica para escribir los correspondientes campos de espín-1 sin masa.

¿Te ayudaría esto? He pensado en problemas similares (escribí, por ejemplo, [2] aunque no está directamente relacionado con su problema) y he llegado a creer que la interpretación que construí y proporcioné anteriormente resuelve muchos problemas conceptuales en las teorías de calibre. (es decir, el tipo de grupo de Lie simple).

Entonces, para responder a sus preguntas explícitamente:

  1. Cada operador de campo (es decir, cada uno de los a , usando su notación de índice) en las transformaciones de causa no abelianas al igual que el caso abeliano bajo las transformaciones de Lorentz, es decir, con un término derivado no homogéneo.
  2. La colección de campos (todos los a ) se transforma de acuerdo con Coleman-Mandula como se transforma bajo la representación adjunta, más cada a tiene la "libertad" de definirse hasta una derivada. Esta libertad juega bien en presencia de materia donde aparecen derivados de fases, y en ausencia de materia se puede usar para escribir cada operador en un calibre conveniente.

Referencias

[1] Teoría cuántica de campos - Vol 1, S. Weinberg

[2] Desafíos conceptuales de la simetría de calibre, Miguel Crispim Romão https://www.academia.edu/5659587/Conceptual_Challenges_of_Gauge_Symmetry

Creo que lo que es muy importante tener en cuenta es que si solo tenemos partículas de helicidad 1 (sin masa), no necesitamos trabajar con estos campos de calibre redundantes. Solo podemos tratar con los campos de F. El requisito para estos campos describe una partícula de 1 helicidad y fija el campo F en términos de operadores de creación y aniquilación. La razón para trabajar con los campos de calibre es que las interacciones locales que se generan a partir de los campos F no son de largo alcance.

Descargo de responsabilidad: no estoy seguro de esta respuesta, pero, sin embargo, confío bastante en ella (y me gustaría que me corrijan si es incorrecta para aprender algo).

Los estados de una partícula se refieren a estados asintóticos en el infinito donde se supone que las interacciones se apagan, es decir, el acoplamiento de calibre se envía a cero. En este límite un tu ( 1 ) norte la simetría de calibre sobrevive y todo funciona como para N copias de fotones que no interactúan.

Como comentario aparte, tenga en cuenta que su pregunta es relevante solo para las teorías de calibre no restrictivas (no abelianas) ya que, de lo contrario, los bosones de calibre no son estados asintóticos de una partícula. Por ejemplo, su pregunta se aplica a W 's pero no para gluones en el SM.

¿Por qué las teorías de calibre no abelianas de Lorentz son mecánicamente cuánticas invariantes?
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