¿Cómo se le ocurrió a Newton (o a quien inventó el proceso) la idea de que la antiderivada se puede usar para calcular el área bajo una curva?

No sé si tiene algo que ver directamente con el teorema fundamental del cálculo, pero si lo tiene, parece que no puedo ver la conexión. O tal vez simplemente no entiendo el teorema.

Puedo entender cómo funciona la definición de derivada... conectas cualquier F ( X ) y te sales F ′ ( X ) .

F ′ ( X ) = límite h → ∞ F ( X + h ) − F ( X ) h

Pero no puedo entender la conexión entre el proceso de límite de encontrar el área bajo una curva y la integral definida.

límite norte → ∞ ∑ i = 1 norte y i Δ X   o norte   i norte t mi r v a yo   [ a , b ] = ∫ a b F ( X )   d X

¿Por qué la antiderivada de una función puede servir como atajo para resolver este problema?

A Barrow a menudo se le da crédito por el Teorema Fundamental, al menos por personas que escriben en inglés. Él no menciona la derivada, trabaja muy geométricamente con tangentes a lo que en retrospectiva se puede llamar la función de área.

Respuestas (2)

El artículo de wikipedia sobre el teorema fundamental del cálculo (que es la declaración que está buscando) tiene una buena explicación intuitiva de por qué los dos son iguales. En esencia, si tomas el área A hasta cierto punto X + h , entonces:

A ( X + h ) − A ( X ) ≈ F ( X ) h
De modo que:
A ( X + h ) − A ( X ) h ≈ F ( X )
ahora toma h → 0 , mostrando que la derivada del área es en realidad la función F ( X ) .

Ambas ecuaciones no son realmente ecuaciones. El punto es que si tomas h pequeño, los lados izquierdos se pueden aproximar por los lados derechos. Entonces deberías tener A ( X + h ) − A ( X ) ≈ F ( X ) h Por ejemplo.
@MichaelAlbanese - por supuesto. Solo estaba tratando de explicar la intuición detrás de esto.

Newton era físico y estudió mucho Mecánica. Mi suposicion es:

Era bien conocido, entendido y de alguna manera intuitivo que el área debajo de una función de la velocidad sería la distancia recorrida. (Porque si lo divide en "pequeños intervalos", tiene "velocidad constante" y puede hacer d = v t . Eso también justificaría la forma en que Riemann desarrolló la integral). Y era bien sabido que la derivada (tasa de cambio) de la distancia era la velocidad. Entonces, tenías la derivada de d ( t ) era igual a v ( t ) , y el área de abajo v ( t ) era igual a d ( t ) . No es la relación que quería saber.

Las ideas físicas ayudan al desarrollo de las matemáticas y viceversa. Creo que este fue el caso.

¿Cómo se le ocurrió a Newton (o a quien inventó el proceso) la idea de que la antiderivada se puede usar para calcular el área bajo una curva?
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